緊集

設X為拓撲空間，K⊂X，若K的每個開覆蓋均有有限子覆蓋，則稱K為緊集。 ^[3] 

如果一個集合

包含在某個球內，也即存在

和

使得

，那麼該集合是有界的(bounded)。

有界的定義可以用某個固定的球心

表述，因為如果一個集合包含在球

中，那麼它也包含在球

中。我們通常設定

來討論有界性。

如果

是有界的閉集，那麼S是緊集。 ^[1] 

定義1 設

是

中的一個點序列，設

為一個正整數序列，並且

[這裏將

寫成

較為方便]。由

組成的序列稱為

的子序列。如果對於所選擇的

，X“¨，

收斂，就説序列

有一個收斂的子序列。

定義2 假設

是一個函數，自變量為

，取值為

。設S為

的任意子集。則

是指對

的集合。換言之

稱為S(關於函數

)的像(image)。 ^[1] 

拓撲空間的子集稱為預緊的，若其閉包為緊集。

拓撲空間稱為局部緊空間，若其每點都有緊鄰域。 ^[2] 

拓撲空間的緊集的閉集為緊集。 ^[2] 

是緊集，當且僅當每個序列

(其中

，對

都有一個收斂於點

的子序列。

如果

是非空(

)的緊集，那麼S包含了一個最大數和一個最小數。

證明: 我們將證明集合S包含一個最大數。證明該集合包含一個最小數的方法是類似的。證明用到了有關實數集R的如下事實：如果一個非空的實數集有上界，那麼它有最小上界(實數集S的上界是一個數b，對所有的

有

)。也就是説，存在一個數，稱為LUB或者S的上確界(sup)，使得如果b是S的任意上界，有b≥sup(S)。假設

是非空(

)的緊集。由於緊集是有界的，因而S有一個最小上界比如説

。首先假設

，那麼

是S中的最大數，否則就不是S的一個上界。接下來假設

。我們將證明

是S中點序列的極限，並且，由於S是閉集，因而

一定在S中。這與

的假設相矛盾。對每一個

，存在一個

使得

，否則S將有一個小於

的上界。於是

，正如我們所要證明的。 ^[1] 

設

為從

到

的連續函數。如果

是緊集，那麼

也是緊集。

證明: 只需要證明，如果

是

中任意的點序列。那麼存在一個收斂於

中某個點的子序列

根據

的定義，在S中存在點

使得對任意的

，有

。由於S是緊集．因而存在

的一個子序列，稱之為

使得對

，有

。又由於

是連續的，

。但由於

，

在

中。因此

是

的收斂於

中一個點的子序列。 ^[1] 

設S為

的一個非空的緊子集，並設

為一個連續函數。則S中存在一個

和一個

，使得

換言之，連續實值函數

在緊集S上既能取得極小值，也能取得極大值。

證明：根據定理3，

是緊集；根據定理2，由於

，

中存在

和

，使得

和

是S中使

和

的點。 ^[1]