復射影空間

的上同調羣為

，其餘的上同調羣為0。

為CW復形，且對每個q(0≤q≤n)，都有一個2q胞腔。

當q=1,n=1時，

，有

，設對應生成元為α。

由於

為

的(2n-2)骨架，有相對上同調羣

，其餘的相對上同調羣為0。

當q<n時，有羣同構

。

故利用歸納法可得

的生成元亦為α，deg(α)=2。

當q<n時，α^q為

的生成元。

分次環

為截尾多項式代數

。故當1≤q≤n時，

為生成元為α^q的自由阿貝爾羣。 ^[5] 

為緊連通可定向流形。 ^[6] 

復射影空間是實射影空間的推廣，即復歐幾里得空間添加無窮遠點構成的空間。添加了無窮遠點的複平面稱為一維復射影空間，記為

，推廣到n維，便得到n維復射影空間，其具體構作如下：給定n+1維復歐氏空間Cⁿ⁺¹，考慮子集合Cⁿ⁺¹\{0}。在其中引進等價關係如下：如果對Cⁿ⁺¹\{0}中的點(z₁，z₂，…，z_n+1)和(w₁，w₂，…，w_n+1)，存在非零複數ρ，使得：

則稱此兩點互相等價，於是Cⁿ⁺¹\{0}成為等價類之並集，含代表元素z=(z₁，z₂，…，z_n+1)的等價類為：

所有等價類構成之集合記為

，稱為n維復射影空間。

在n維復射影空間CP中取出以點(z₁，z₂，…，z_n，1)為代表元素的等價類，這些等價類構成CPⁿ中的子集，其中每個點：

對應C中的點(z₁，z₂，…，z_n)，這是到C上的一一對應.將看做和C等同，在這個意義下，C⊂CP，而CP\C中的點稱為C的無窮遠點。所以n維復射影空間是由n維復歐氏空間添加無窮遠點而成。

利用Cⁿ⁺¹\{0}到CPⁿ之自然投影映射：

用Cⁿ⁺¹\{0}之歐氏拓撲結構，在CP中可引進關於σ的商拓撲，於是CP為緊複流形。 ^[1] 

射影空間是整體幾何最基本的研究對象之一。射影空間的概念最初產生於古典射影幾何。對於射影定理中的奇異情形(即有些直線相互平行的情形)，為方便起見引入無窮遠點的概念，即規定平面上每條直線上有一個無窮遠點，兩條直線平行就是相交於無窮遠點，所有無窮遠點組成一條無窮遠直線。這種構造方法還可以推廣到高維空間，建立n維(實)射影空間P_R。在n維射影空間中常採用齊次座標(X₀∶X₁∶…∶X_n)，其中X₀，X₁，…，X_n不全為0；若a≠0，則(aX₀∶aX₁∶…∶aX_n)與(X₀∶X₁∶…∶X_n)表示同一個點。因此n維(實)射影空間同構於(R-{0})/R.進一步的研究表明P_R是緊緻解析流形。若令U_i(0≤i≤n)為P_R中座標X_i≠0的點全體，則U_iR，且U₀，U₁，…，U_n組成P_R的一個開覆蓋。上述構造方法可以推廣到任意體K上，建立K上的n維射影空間P_K.在概形理論中，還將射影空間建立在整數環Z上，即建立射影概形P_Z。由此對任意概形X可以建立P_X，它是X和P_Z(在Spec Z上)的纖維積。特別地，若X=Spec K(K為域)，則P_X=P_K。 ^[2] 

由於射影空間的性質非常豐富難以全面列舉，僅舉數例如下：

1.P_R同胚於圓，P_C可看做添上無窮遠點的複平面，同胚於球面。

2.P_R是單側曲面，可以同胚地嵌入四維空間R，但不能同胚地嵌入三維空間R，P_C是代數極小曲面。

3.P_C是克勒流形，它的閉解析子空間都是代數的。

4.對任意域k，P_k是齊性空間，其切叢由整體向量場生成，其自同構羣為射影羣PSL(n+1，k)，其皮卡羣Pic(P_k)Z。

簡稱歐氏空間。既是幾何學的研究對象，又是代數學的研究對象。在幾何學中，歐氏空間是滿足全部歐幾里得公理的幾何空間。它的幾何是研究幾何圖形的度量性質和度量不變量的歐幾里得幾何(簡稱歐氏幾何)，包括普通平面幾何和立體幾何的全部理論。

歐氏幾何空間按維數的不同而有一維歐氏空間(即歐氏直線)、二維歐氏空間(即歐氏平面)和三維歐氏空間(即普通空間，在幾何學中也常簡稱歐氏空間)。在代數學中，歐氏空間是實數域上的一個線性空間，在其中規定了一個稱為內積的二元實函數。歐氏線性空間的維數可以是任意的自然數。容易在同維數的歐氏幾何空間與歐氏線性空間之間建立直接的聯繫。在歐氏幾何空間中取定一點作為公共的起點，空間每一點就決定一個以該點作為終點的向量。這種向量的全體構成的集合在向量加法和數乘向量的乘法下就是一個線性空間。再以通常向量的數量積作為線性空間中向量的內積，這個線性空間就是一個歐氏線性空間。反之，在線性空間取定基底後，n維線性空間中的向量可以用n元數組作為座標表示，再把n維歐氏線性空間的向量的座標看做n維歐氏幾何空間中建立了直角座標系後點的座標，這樣就在n維歐氏線性空間的向量和n維歐氏幾何空間的點之間建立了一一對應，並且當取後者的座標原點作為公共的起點，由後者的每個點作為終點所決定的向量，其座標正好與前者的對應向量的座標相同，由其數量積所確定的歐氏線性空間，也與前者完全合一。

總之，按照以上的討論，在同維數的幾何空間和歐氏線性空間之間可以建立一一對應，並在此對應下保持着各自的幾何、代數結構。這也是將後來發展的代數體系與先發展的幾何體系取同一名稱——歐幾里得空間的原因。 ^[3] 

一種特殊的複線性空間。指帶非退化對稱雙線性函數的複線性空間。設V是複數域C上的線性空間，若在V上定義了一個非退化對稱雙線性函數，則稱V為復歐幾里得空間，簡稱復歐氏空間。對n維復歐氏空間V的每一線性變換σ，都存在它的共軛變換σ。在n維復歐氏空間V內總存在標準正交基。若以A，B分別表示它們在給定基下的矩陣，則B=GA′G，這裏G是關於給定基的格拉姆矩陣。n維復歐氏空間的線性變換σ是對稱(反對稱)的充分必要條件是σ關於標準正交基的矩陣是對稱(反對稱)矩陣。 ^[4]