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可定向流形
鎖定
- 中文名
- 可定向流形
- 外文名
- orientable manifold
- 所屬學科
- 數學
- 所屬領域
- 幾何拓撲學
- 釋 義
- 確定流形指向的方式問題
可定向流形基本介紹
拓撲流形的定向(orientation of topological manifold)是指確定流形指向的方式問題,有多種等價的方式來定義流形的定向,這裏介紹比較基本的兩種,設M為n維拓撲流形,由定義可知存在M的一個開覆蓋
使得對於每個
有同胚
(或
),於是當
時,
設
為單位區間,
為流形M的一條道路,選取
的一個分割
使得
某
,現在通過
選取
的序向,使得在
和
上,它們有一致的序向,則當a為環道時,有
的鄰域
到
的鄰域
的一個同胚h,若h為保向同胚,則稱a為保向的;否則稱a為逆向的,於是M可定向的等價説法是:M上的任意環道都是保向環道。由於具有相同基點的同倫環道有相同的保向性,所以單連通流形必定可定向,因此n維球面S當n≥2時可定向(當然圓周S也可定向)。另一方面,如圖1所示,默比烏斯帶的腰圓是一條逆向曲線,從而默比烏斯帶不可定向,因此一切包含默比烏斯帶的曲面均不可定向,所以2維實射影平面、克萊因瓶等均為不可定向的閉曲面(2維流形)
[1]
。
可定向流形相關性質定理
命題1 在連通的定向流形上存在兩個不同的定向,並且任何圖給出與M的定向中的一個相同的局部定向。
定義 設M是帶邊的定向流形,
是給出M定向的圖冊。
的定向由圖冊
給出的
的定向稱為與M的定向是協調的。
引理1
同胚於圓盤與Mf;bius帶沿公共邊界的粘合。
引理2Klein 瓶同胚於粘合了兩個
帶的球面。
定理2(分類定理)任何光滑、緊緻、連通、閉、二維流形或同胚於有k 個柄的球面
,或同胚於有s 個
膜的球面
。
引理3任何二維、光滑、緊緻、連通、閉的M2允許有限的三角剖分。
引理4詞W可以(藉助於M2的同胚)改造成多邊形W的所有頂點粘合到一個點。
引理6 如果
則存在M2的同胚,使W轉變為
。
引理7 如果
則存在M2的同胚,把W 變換為
。
引理8 如果W(在W 上完成了上述的操作) 含有一對字母
和
的邊:
而且
則存在一對邊
,使
其中
即對任何一對邊和(這裏),存在與它相“銜接”的一對邊
。
引理9 如果
則存在
的同胚,把W變成
。