生成元

羣中元素可以由最小數目個羣元的乘積生成，這組羣元稱為該羣的生成元，生成元的數目為有限羣的秩。

例如 D3 羣，D3={E,D,F,A,B,C}，其中 E 為恆元， D、F 為繞等邊三角形中點逆時針旋轉 2π/3 和 4π/3 ，A,B,C 為繞三個對稱軸的翻轉。其中，可取生成元為 {D,A} ，E=D³=A²，F=D²，B=AD，C=DA；也可取生成元為{F,A}，E=F³=A²，D=F²，B=FA，C=AF。

秩：生成元的數目為有限羣的秩。有限羣的生成元的選擇不唯一，但秩不變。

設S是羣G的一個非空子集，令M是G中所有包含S的子羣所組成的集合，即M={H<G|S⊆H}。G顯然包含S，所以G∈M，從而M非空。令K=∩H，H∈M，則K是G的子羣。稱K為羣G的由子集S所生成的子羣，簡稱生成子羣，記作〈S〉，即K=〈S〉=∩H，S⊆H<G。子集S稱為〈S〉的生成元組。

[free Lie algebra]

設 X 為非空集合。若域 K 上的李代數

帶有一個單射

，使得對於任何 K 李代數

及映射

，使得

，則稱

是 X 上的一個自由李代數。

在同構意義下，非集合 X 上的自由李代數存在且唯一。事實上，設

為 X 上的自由結合代數，於是

關於括號積

做成一個李代數。此李代數的由 X 生成的李子代數即為 X 上的一個自由李代數，而

為其泛包絡代數。

若

為

上的一個自由李代數，

為

的由

生成的理想。則稱

為生成元，為

，關係（relation）為

的李代數。 ^[1]