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標準正交基
鎖定
- 中文名
- 標準正交基
- 外文名
- standard orthonormal basis
- 別 名
- 規範正交基
- 應用學科
- 數學
- 所屬領域
- 線性代數
- 性 質
- 正交基的基向量的模長都是1
標準正交基名詞釋義
標準正交基代數名詞
在線性代數中,一個內積空間的正交基(orthogonal basis)是元素兩兩正交的基。稱基中的元素為基向量。假若,一個正交基的基向量的模長都是單位長度1,則稱這正交基為標準正交基(Orthonormal basis)。
[2]
無論在有限維還是無限維空間中,正交基的概念都是很重要的。在無限維希爾伯特空間中,正交基不再是哈默爾基,也即是説不是每個元素都可以寫成有限個基中元素的線性組合。因此在無限維空間中,正交基應該被更嚴格地定義為由線性無關而且兩兩正交的元素組成、張成的空間是原空間的一個稠密子空間(而不是整個空間)的集合。
注意,在沒有定義內積的空間中,“正交基”一詞是沒有意義的。因此,一個巴拿赫空間有正交基,當且僅當它是一個希爾伯特空間。
標準正交基簡單範例
(1). a=(
,
,1);b=(2,-2,-1);c=(1,1,0)是
的一組正交基;
(2). α=(1,0,0);β=(0,1,0);γ=(0,0,1)是
的一組標準正交基。
(4)由fn(x) = exp(2πinx)定義的集合:
{fn:n∈Z}組成在復勒貝格空間L([0,1])上的一個標準正交基。
注: ① 由正交基的每個向量單位化,可得到一組標準正交基。 ② n維歐氏空間V中的一組基為標準正交基。
標準正交基基本性質
B是H上的一個正交基,那麼H中的每個元素x都可以表示成:
當B是標準正交基時,就是:
x的模長表示為:
即使B不是可數的,上面和式裏的非零項也只會有可數多個,所以這個表達式仍然是有效的。上式被稱作x的傅立葉展開,詳見傅里葉級數。
標準正交基存在性
標準正交基哈默爾基
有前面的定義可以知道,在無窮維空間的情況下,正交基不再是一般線性代數的定義下的基。為了區分,把一般線性代數的定義下的基稱為哈默爾基。
在內積空間的實際應用中,哈默爾基甚少出現,因此提到“基”的概念時,一般指的是正交基。