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正交

（數學名詞）

鎖定
正交是線性代數的概念，是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞，只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量的內積為0，則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運動的獨立性，也可以用正交來解釋。
中文名
正交
外文名
Orthogonality
適用領域
數學
應用學科
數學

目錄

  1. 1 正交的含義
  2. 2 各種正交概念
  3. ▪ 正交子空間
  1. ▪ 正交變換
  2. 3 歐幾里得空間的例子
  1. 4 正交函數集
  2. 5 參看

正交正交的含義

對於一般的希爾伯特空間， 也有內積的概念， 所以人們也可以按照上面的方式定義正交的概念。 特別的， 我們有n維歐氏空間中的正交概念， 這是最直接的推廣。
和正交有關的數學概念非常多， 比如正交矩陣、正交補空間、施密特正交化法、最小二乘法等等。
另外在此補充正交函數系的定義：在三角函數系中任何不同的兩個函數的乘積在區間[-π,π]上的積分等於0，則稱這樣的三角函數組成的體系叫正交函數系。 [1] 

正交各種正交概念

正交正交子空間

若內積空間中兩向量的內積為0，則它們正交。類似地，若內積空間中的向量v與子空間A中的每個向量都正交，那麼這個向量和子空間A正交。若內積空間的子空間A和B滿足一者中的每個向量都與另一者正交，那麼它們互為正交子空間。

正交正交變換

正交變換
是保持內積的線性變換。即是説，對兩個向量，它們的內積等於它們在函數T下的內積：
這也就是説，正交變換保持向量的長度不變，也保持兩個向量之間的角度不變。 [2] 

正交歐幾里得空間的例子

在二維或三維的歐幾里得空間中，兩個向量正交當且僅當他們的點積為零，即它們成90°角。可以看出正交的概念正是在此基礎上推廣而來的。三維空間中，一條直線的正交子空間是一個平面，反之亦然。四維空間中，一條直線的正交子空間則是一個超平面。 [2] 

正交正交函數集

對於兩個函數f和g，可以定義如下的內積：
這裏引進一個非負的權函數。這個內積叫做帶權{\displaystyle w(x)}的內積。
兩個函數帶權{\displaystyle w(x)}正交，是指它們帶權
的內積為零。
由此可以類似定義帶權{\displaystyle w(x)}的模。
一個函數列{fi:i= 1, 2, 3, ... }如果滿足：
其中
為克羅內克函數， 那麼{fi}就稱為帶權{\displaystyle w(x)}的正交函數族。
進一步地，如果{fi}滿足：
就稱{fi}為帶權
的標準正交函數族。
參見正交多項式。 [2] 

正交參看

參考資料
  • 1.    J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 58. ISBN 0-7167-0344-0.
  • 2.    Athanasios Papoulis; S. Unnikrishna Pillai (2002). Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill. p. 211. ISBN 0-07-366011-6.