點積

點積有兩種定義方式：代數方式和幾何方式。通過在歐氏空間中引入笛卡爾座標系，向量之間的點積既可以由向量座標的代數運算得出，也可以通過引入兩個向量的長度和角度等幾何概念來求解。 ^[1] 

在一個向量空間V中，定義在

上的正定對稱雙線性形式函數即是V的數量積，而添加有一個數量積的向量空間即是內積空間。

設二維空間內有兩個向量

和

，定義它們的數量積（又叫內積、點積）為以下實數：

更一般地，n維向量的內積定義如下： ^[1] 

設二維空間內有兩個向量

和

，

和

表示向量a和b的大小，它們的夾角為

，則內積定義為以下實數：

該定義只對二維和三維空間有效。

這個運算可以簡單地理解為：在點積運算中，第一個向量投影到第二個向量上（這裏，向量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然後通過除以它們的標量長度來“標準化”。這樣，這個分數一定是小於等於1的，可以簡單地轉化成一個角度值。

以三維空間為例子。

設

，

，根據向量座標的意義可知

根據點乘的分配律得

又

，

所以

注意：點乘的分配律在空間內可通過幾何證明，無需藉助向量關係，因此不屬於循環推導。

點乘分配律的幾何證明：

(a+b)·c=a·c+b·c

c=0時上式是成立的；

c≠0時，(a+b)·c=|c|*Prjc(a+b)=|c|(Prjc(a)+Prjc(b))=|c|*Prjc(a)+|c|*Prjc(b)=a·c+b·c

設

，

，它們的終點分別為

和

，原點為O，

夾角為

。則

在△OAB中，由余弦定理得：

利用距離公式對這個等式稍作處理，得

去括號、合併得

注意：餘弦定理和距離公式亦無需向量知識。

u的大小、v的大小、u,v夾角的餘弦。在u,v非零的前提下，點積如果為負，則u,v形成的角大於90度；如果為零，那麼u,v垂直；如果為正，那麼u,v形成的角為鋭角。

兩個單位向量的點積得到兩個向量的夾角的cos值，通過它可以知道兩個向量的相似性，利用點積可判斷一個多邊形是面向攝像機還是背向攝像機。

向量的點積與它們夾角的餘弦成正比，因此在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，説明夾角越小，則物體離光照的軸線越近，光照越強。

交換律：

分配律：

結合律：

，其中m是實數。

平面向量的數量積a·b是一個非常重要的概念，利用它可以很容易地證明平面幾何的許多命題，例如勾股定理、菱形的對角線相互垂直、矩形的對角線相等等。如證明：

（1）勾股定理：　Rt△ABC中，∠C=90°，則|CA|²+|CB|²=|AB|²。

∵AB = CB-CA

∴AB²=(CB-CA)²= CB·CB-2CA·CB+CA·CA

又∵ ∠C=90°，有CA⊥CB，於是CA·CB=0

∴ AB²=AC²+BC²

（2）菱形對角線相互垂直：菱形ABCD中,點O為對角線AC、BD的交點，求證AC⊥BD。

設 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

∵AC=(AB+BC)，BD=(BC+CD)

∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a²cos(π-α)+a²-a²+a²cosα

又∵ cosα=-cos(π-α)

∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0

∴AC⊥BD

在生產生活中，點積同樣應用廣泛。利用點積可判斷一個多邊形是否面向攝像機還是背向攝像機。向量的點積與它們夾角的餘弦成正比，因此在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，説明夾角越小，則物理離光照的軸線越近，光照越強。物理中，點積可以用來計算合力和功。若b為單位矢量，則點積即為a在方向b的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。計算機圖形學常用來進行方向性判斷，如兩矢量點積大於0，則它們的方向朝向相近；如果小於0，則方向相反。矢量內積是人工智能領域中的神經網絡技術的數學基礎之一，此方法還被用於動畫渲染（Animation-Rendering）。

線性變換中點積的意義：

根據點積的代數公式：a·b=a₁b₁+a₂b₂+……+a_nb_n，假設a為給定權重向量，b為特徵向量，則a·b其實為一種線性組合，函數F（a·b）則可以構建一個基於a·b+c = 0 （c為偏移）的某一超平面的線性分類器，F是個簡單函數，會將超過一定閾值的值對應到第一類，其它的值對應到第二類。

1.兩向量a、b的數量積a·b雖與代數中兩個數a、b的乘積ab不同，但又很類似。所以書寫時、一定要把它們嚴格區別開來，符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替。 ^[2] 

2.兩向量a、b的數量積是個數量，而不是向量。 ^[2] 

3.當a≠0時a·b=不能推出b一定是零向量，這是因為任一與 a垂直的非零向量b，都有a·b=0，所以代數中“若ab=0，則a=0或b=0”在向量的數量積中卻不適用。 ^[2] 

4.由a·b=b·c，不能推出a=c，即等式兩邊都是數量積時，其“公因式”不能約去。很明顯，向量運算中沒有除法，相約實質上是相除，這是不允許的。 ^[2] 

5.“結合律”對數量積不成立即(a·b)·c≠a·(b·c)。 ^[2]