內積空間

具有內積運算的線性空間，是n維歐氏空間的無限維推廣.設K是實數域或複數域，H是K上線性空間，如果對H中任何兩個向量x,y，都對應着一個數(x,y)∈K，滿足條件：

1.(共軛對稱性)對任意的x,y∈H，有

(x,y)=

2.(對第一變元的線性性)對任何x,y,z∈H及α,β∈K，有(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z).

3.(正定性)對一切x∈H，有(x,x)≥0且

(x,x)=0⇔x=0，

這時(·,·)稱為H中的內積，而稱H為(實或復)內積空間，或準希爾伯特空間.令

‖x‖=

，

則按範數‖·‖，H成為賦範線性空間.設(X，‖·‖)是賦範線性空間，X中能定義內積(·，·)並使‖x‖=

恆成立的充分必要條件是X的範數‖·‖滿足下面的平行四邊形公式：對任何x，y∈X，

‖x+y‖+‖x-y‖=2(‖x‖+‖y‖).

完備的內積空間稱為希爾伯特空間，希爾伯特空間H上連續線性泛函的全體記為H，稱H為H的共軛空間.H的共軛空間H就是H本身.事實上，設f∈H，則存在惟一向量y∈H使得對所有x∈H都成立着f(x)=(x，y)，且‖f‖=‖y‖(里斯定理).反之，對每個y∈H，f_y(x)=(x，y)確定了H上一個連續線性泛函f_y∈H.做H到H的映射C如下：C：y→f_y(y∈H)，則有 ^[2] 

即C實現了H與H*之間的保範共軛線性同構，在此同構意義下，把f_y與y視為等同，便得H=H.這一性質也稱為希爾伯特空間的自共軛性，它在希爾伯特空間算子理論中具有很重要的作用.

第一個具體的希爾伯特空間最早是由希爾伯特(Hilbert，D.)在研究積分方程時首先提出的，他在平方可和的無窮實數列{x_n}全體組成的空間l中規定了內積

({x_n}，{y_n})=

x_ny_n，

把空間l看做歐幾里得空間向無窮維的推廣，從而有效地解決了一類積分方程求解及本徵展開問題.不久馮·諾伊曼(von Neumann，J.)建立了一般希爾伯特空間的理論.希爾伯特空間的概念和理論已被廣泛應用於數學和物理的各個分支.如積分方程、微分方程、隨機過程、函數論、調和分析、數學物理和量子物理等.

1.內積空間的完備子空間為閉集；

2.內積空間的有限維子空間是完備子空間。 ^[5] 

在數學上，內積空間是增添了一個額外的結構的矢量空間。這個額外的結構叫做內積或標量積。這個增添的結構將一對矢量與一個純量連接起來，允許我們嚴格地談論矢量的“夾角”和“長度”，並進一步談論矢量的正交性。內積空間由歐幾里得空間抽象而來（內積是點積的抽象），這是泛函分析討論的課題。 ^[1] 

內積空間有時也叫做準希爾伯特空間，因為由內積定義的距離完備化之後就會得到一個希爾伯特空間。

在早期的著作中，內積空間被稱作酉空間，但這個詞已經被淘汰了。在將內積空間稱為酉空間的著作中，“內積空間”常指任意維（可數/不可數）的歐幾里德空間。

向量空間是歐幾里得空間的推廣。設E是域K上的向量空間，( ， )是E上的雙線性函數.若( ， )滿足下列條件，則E稱為內積空間，( ， )稱為內積：

條件1.對稱性.

條件2.非退化性.

若E，F是域K上的內積空間，則E×F也是K上的內積空間.若dim E=n，dim F=m，{a_γ}與{b_μ}分別是E，F的法正交基，則{a_γ×b_μ}是E×F的法正交基.

內積（inner product），又稱數量積（scalar product）、點積（dot product）

他是一種矢量運算，但其結果為某一數值，並非向量。

設矢量A=[a1,a2,...an]，B=[b1,b2...bn] ，則矢量A和B的內積表示為: ^[3] 

A·B=a1×b1+a2×b2+……+an×bn

A·B = |A| × |B| × cosθ

|A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2);

|B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2).

其中，|A| 和 |B| 分別是向量A和B的模，是θ向量A和向量B的夾角（θ∈[0,π]）。若B為單位向量，即 |B|=1時，A·B= |A| × cosθ，表示向量A在B方向的投影長度。向量A為單位向量時同理。當向量A與B垂直時，A·B=0。

設X為複線性空間,如果對任給的x, y∈X都恰有一個複數,記為(x, y),與之對應,並且對應具有下列性質: ^[4] 

1. (x, x)≥0; (x, x) = 0必須且只須x = 0

2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

3. (αx, y) = α(x, y)

4. (x, y) = (y, x)

對任意的x, y∈X, α∈C,稱(x, y)為x與y的內積,稱X為內積空間。

內積空間有如下特性：

在內積空間X中，x⊥Iy⇔x⊥Py.

內積空間中, “⊥P”具有齊次性和可加性

內積空間中的等腰正交有齊次性和可加性

X為內積空間,當且僅當x⊥Py⇔x⊥Sy.

X為一個賦範線性空間, λ > 0,若x, y∈S(X),且 ∥x + λy∥=∥x−λy∥,則∥x + λy∥2= 1 + λ2就稱X滿足P

λ性質.

Minkowski平面中若存在一個非零的⊥R正交元x0,且∀λ > 0,滿足Pλ性質,則該空間為內積空間.

X為三維實賦範空間,存在非零元素x, y, z∈X且滿足下面兩個條件:1.x⊥Py, x⊥Pz, y⊥Pz,且x與my, x與nz y與qz滿足正交可加性, m, n, q∈Z+;2.x⊥Pαy + βz, y⊥Pαx + βz, z⊥Pαx + βy α, β∈R;則X為內積空間.

有 限 維 空 間X中 存 在 一 組 非 零 的 正 交 元x1, x2, ..., xn且 滿 足類似定理2.2.12中的條件兩兩互相P正交,元素及其整數倍滿足正交可加性且xj⊥∑ni=1αixi,∀αi∈R且αj= 0 j = 1, 2...n則X為內積空間.