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垂直

(數學術語)

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垂直,是指一條線與另一條線相交併成直角,這兩條直線互相垂直。通常用符號“”表示。
設有兩個向量a和b,a⊥b的充要條件是a·b=0,即(x1x2+y1y2)=0 。
對於立體幾何中的垂直問題,主要涉及到線面垂直問題與面面垂直問題,而要解決相關的問題,其難點是線面垂直的定義及其對判定定理成立的條件的理解;兩平面垂直的判定定理及其運用和對二面角有關概念的理解。
中文名
垂直
外文名
vertical
基本解釋
一條線與另一條線成直角等
學    科
數理科學
垂線性質
垂線段最短
類    型
數學術語
符    號

垂直介紹

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兩條直線相交成直角時,這兩條直線互相垂直,其中一條直線是另一條直線的垂線,這兩條直線的交點叫垂足。 [1] 
拓展:兩條直線、兩個平面相交,或一條直線與一個平面相交,如果交角成直角,叫做互相垂直。
陸定一老山界》:“﹝路﹞果然陡極了,幾乎是九十度的垂直的石梯,只有一尺多寬。”

垂直直角

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在幾何學和三角學中,直角,又稱正角,是角度為90度的角。它相對於四分之一個圓周(即四分之一個圓形),而兩個直角便等於一個半角(180°)。角度比直角小的稱為鋭角,比直角大而比平角小的稱為鈍角
一個直角等於90度,符號:Rt∠。

垂直性質

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在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。垂直一定會出現90°。
② 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短。簡單説成:垂線段最短。
點到直線的距離:直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離。

垂直向量垂直

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在數學中,向量(也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指:代表向量的方向;線段長度:代表向量的大小。與向量對應的只有大小,沒有方向的量叫做數量(物理學中稱標量)。
向量的記法:印刷體記作粗體的字母(如a、b、u、v),書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。 [2]  如果給定向量的起點(A)和終點(B),可將向量記作AB(並於頂上加→)。在空間直角座標系中,也能把向量以數對形式表示,例如Oxy平面中(2,3)是一向量。
在物理學和工程學中,幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量,比如一個物體的位移,球撞向牆而對其施加的等等。與之相對的是標量,即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫,例如向量勢對應於物理中的勢能
設有兩個向量
,根據夾角公式知,
的充要條件是
。其中
,表示兩向量之間的夾角。若將向量用座標形式表示,記
,則

垂直垂直度

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垂直度(Perpendicularity)是位置公差。垂直度評價直線之間、平面之間或直線與平面之間的垂直狀態。其中一個直線或平面是評價基準,而直線可以是被測樣品的直線部分或直線運動軌跡,平面可以是被測樣品的平面部分或運動軌跡形成的平面。
當基準是直線,被評價的是直線時,垂直度是垂直於基準直線且距離最遠的兩個包含被測直線上的點的平面之間的距離;
當基準是直線,被評價的是平面時,垂直度是垂直於基準直線且距離最遠的兩個包含被測平面上的點的平面之間的距離。
當基準是平面,被評價的是直線時,垂直度是垂直於基準平面和評價方向,且距離最遠的兩個包含被測直線上的點的平面之間的距離。
當基準是平面,被評價的是平面時,垂直度是垂直於基準平面且距離最遠的兩個包含被測平面上的點的平面之間的距離。

垂直垂直問題

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對於立體幾何中的垂直問題,主要涉及到線面垂直問題與面面垂直問題,而要解決相關的問題,其難點是線面垂直的定義及其對判定定理成立的條件的理解;兩平面垂直的判定定理及其運用和對二面角有關概念的理解。
線面垂直,找線線垂直
例1,如圖1,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC中點,若AC=BD=a,EF=
,角BDC = 90度,求證:BD⊥平面ACD。
分析:證明線面垂直 ,需要找線線垂直 ,創造所得線線垂直的條件。
圖1 圖1
解答:如圖1,取 AB的中點M,連結 ME、MF,因為 E、F分別是 AD、BC中點,所以ME∥BD, 且ME=1/2*BD。MF∥AC且MF=1/2*AC又因為 AC=BD =a,所 以 ME =MF =1/2*a。因 為 EF =
。因為
,所以FM⊥ME,而 MF∥AC,ME∥BD,所以AC ⊥BD。又因為 角BDC=90度,所 以 BD⊥CD,而 CD交AC 於C,所 以BD⊥平面 ACD。
點評:線面垂直可以通過線線垂直加 以判斷與證明。
線面垂直 ,結合面面垂直
圖2 圖2
如圖 2,已知AB是圓O的直徑 ,PA垂直於圓O所在的平 面 ,C是圓周上不同於 A、B的任一點,求證 :平面 PAC⊥面PBC。
分析:根據面面垂直的判定定理,要證明兩平面互相垂直,只要在其中一個平面內尋找一條與另一平面垂直的直線即可。
解答:因為AB是圓O的直徑,所以AC⊥BC.又因為PA垂直於圓O所在的平面,所以PA⊥BC,所以 BC⊥平面 PAC,又 BC在平面 PBC內,所以,平面 PAC⊥平面 PBC。
點評:由於平面 PAC與平面 PBC相交於PC,所 以如果平面 PAC⊥平面 PBC,則在平面PBC內,垂直於 PC的直線一定垂直平面PAC,這是尋找兩個平面的垂線的常用方法。 [3] 
參考資料
  • 1.    課程教材研究所小學數學課程教材研究開發中心. 義務教育課程標準實驗教科書數學四年級上冊. 人民教育出版社, 2012.
  • 2.    高中數學(人教A版)必修四第三章:平面向量
  • 3.    錢瓊波. 談立體幾何中垂直問題的處理策略[J]. 數理化學習:高三, 2012(10):5-6.