正交補空間

內積空間V的子空間W的正交補

是正交於W中所有向量的所有V中向量的集合，也就是

正交補總是閉合在度量拓撲下。在希爾伯特空間中，W的正交補的正交補是W的閉包，就是説

如果 A 是

矩陣，而

,

和

分別指稱行空間、列空間和零空間，則有

和

在一般的巴拿赫空間中有自然的類似物。在這種情況下類似的定義W的正交補為V的對偶的子空間

它總是

的閉合子空間。它也有類似的雙重補性質。

是

的子空間(它同一於

)。但是自反空間有在

和

之間的自然同構

。在這種情況下我們有

這是哈恩-巴拿赫定理的直接推論 ^[2]  。

在數學裏，希爾伯特空間即完備的內積空間，也就是説一個帶有內積的完備向量空間。是有限維歐幾里得空間的一個推廣，使之不侷限於實數的情形和有限的維數，但又不失完備性（而不像一般的非歐幾里得空間那樣破壞了完備性）。與歐幾里得空間相仿，希爾伯特空間也是一個內積空間，其上有距離和角的概念（及由此引申而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是一個完備的空間，其上所有的柯西序列會收斂到此空間裏的一點，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基於任意正交繫上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公設化數學和量子力學的關鍵性概念之一 ^[3]  。