巴拿赫定理

巴拿赫定理(Banach theorem)表明函數的全變差與指標函數的(L)積分之間關係的定理。設f (x)是巨，司上的連續函數，m與M分別為f(二)在壓，司上的最小值與最大值，N(y) (m鎮y鎮M)是方程.fCx)=y的根的個數，稱N(户為巴拿赫指標函數，則N(必在[m,M]上(L)可測。

定理的最一般的表述需要一些準備。 ^[1]  給定標量域（實數或複數）上的一個向量空間V，一個函數稱為次線性的，如果：

可以很容易證明，V上的每一個範數和每一個半範數都是次線性的。其它的次線性函數也可以是很有用的。

哈恩-巴拿赫定理説明，如果

是一個次線性函數，

是

的子空間U上的一個線性泛函，滿足：

那麼存在φ到整個空間

的一個線性擴張

，也就是説，存在一個線性泛函ψ，使得：

以及：

擴張ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的證明也沒有給出任何求出ψ的方法：在無窮維空間

的情形中，它依賴於佐恩引理——選擇公理的一個表述。

我們可以把

的次線性條件稍微減弱，只需要：

根據（Reed and Simon, 1980）。這揭示了哈恩-巴拿赫定理與凸性的密切聯繫。