有界線性算子

①設

是從線性賦範空間

到

的線性算子。 如果

當存在且有限，則稱

是有界線性算子，也就是説

將

中的每個有界集映射為

中的有界集。此處

|表示範數，

表示

中定義的範數，

表示

中定義的範數。

②設V1與V2是同一數域K上的賦範線性空間，D是V1的子空間，T:D→V2是一映射．如果T滿足： 、

則稱T是可加的．如果T滿足：

則稱T是齊次的．如果T既是可加的又是齊次的，則稱T是一個線性算子，其中D稱為T的定義域，記為D(T)，即D(T)=D．如果T是線性算子且存在常數M>0使得

則稱T為有界線性算子．特別地，當V2是數域K時，則稱有界線性算子T為有界線性泛函． ^[1] 

下面介紹幾個簡單例子．

例l1 設V是賦範空問，定義

則I與θ都是V上(即V到V)的有界線性算子，分別稱為恆等算子與零算子，零

算子θ常記為0(與數零用同一記號)．

例2 解析幾何中的旋轉變換：

是實二維空間R²上的有界線性算子，因為

與Ⅳ中向量類似．函數和數列範數同樣是各自所在線性賦範空間的重要度量，它度量了抽象空間中向量的某種“能力”和“強度”，如峯值、能量、絕對均值等。有界線性算子集合也可以構成自己的線性賦範空間。有界線性算子也有範數，可度量和描述有界線性算子的某種映射“功能”“作用”或“過程”等。也就是需要用非負的實數以最簡明的方式來度量和描述線性算子“功能”。範數不但是重要的數學概念，也是工程技術領域中普遍應用的概念和思維方式。

設X，Y為線性賦範空間，T為X→Y的有界線性算子，對任何x∈X，稱

為有界線性算子的範數。當確定了一個最小的非負數M使上式集合中表示條件的等號

成立時，則有

為T對||x||的“放大”倍數．它顯然隨x∈X而變化，在X中遍取x獲取||T(x)||的最大值(最小上界)，則

可以作為有界線性算子的範數，即有界線性算子對線性賦範空間X中抽象向量X的範數

||X||的最大“放大”能力。正像衡量運動員百米速度一樣，要記下所有運動員在相同條

件下的比賽成績．以成績作為人類百米賽速度的一種度量，即世界紀錄。對個人來

講，也是用歷次成績的值作為自己的榮耀。

由於T是線性算子．當x“方向''確定以後．算子T的“放大''能力應該是

x“方向”上的常數比值，即

上式利用了線性映射齊次性式和範數齊次性。於是，可以規定一個“標準”，||X||

等於某個常數(一般取1)，x成為X中單位球面上的向量，體現了“大小”因素的標準化，

使x僅存方向因素對||T||有影響。於是

即有界線性算子的範數為對單位球上向量的最大放大量。 ^[2] 

定理1 設X和Y是同一數域K上的兩個線性賦範空間，D是X中一線性子 ^[3] 

空間，T：D→Y為線性算子，那麼

(1)T有界的充要條件是存在正常數μ，使得

(2)T在D上連續的充要條件是T在D的某一點X0上連續;

(3)T為有界算子的充要條件是T為連續算子．

定理2 設X和Y是同一數域K上的兩個線性賦範空間，D是X中一線性子空間，T：D→Y為線性算子 ^[3]  ，那麼

設

是從線性賦範空間

到

的線性算子。則下面命題等價：

1、

是有界線性算子。

2、

是連續線性算子。

3、 存在

,

在

處連續。

4、 存在

使得