次線性函數

有一類特別重要的凸函數

，稱為次線性函數，它滿足

(正齊次性)；

，(次可加性)。

任何線性形式(函數)當然都是次線性函數。反之，易證：如果

，且

和

都是次線性函數，那麼

一定是線性函數。

次線性函數必定是凸函數；於是次線性函數本質上也將是仿射函數族的上包絡。但由於次線性函數

還一定滿足

等條件，我們還能得到更強的結果。

命題1設線性空間X上的函數

，且

，那麼

是次線性函數的充要條件為：存在一族線性形式

，使得

推論設

是滿足

的次線性函數，那麼

是代數閉凸集。

定理 設K為線性空間X中的集合，且

是它的承託函數，即

那麼

的充要條件為：K是代數閉凸集。

非負的次線性函數稱為Minkowski函數，這種函數與包含原點的凸集緊密相關，設

為凸集，且

，令

這裏規定

，於是有：

命題2

是Minkowski函數。

命題3 設A為X中的凸集，且

，

如,式(2)所定義，那麼

命題4設

為Minkowski函數，凸集A滿足

那麼必定有

命題3把一個相對代數內部非空的凸集與一個Minkowski函數聯繫起來，且它的相對代數內部與代數閉包也都可用這個Minkowski函數表示，命題4又説明這樣的Minkowski函數聯繫的是一族有相同的相對代數內部和代數閉包的凸集。值得注意的是：命題4中並無A的相對代數內部包含原點的要求，於是式(3)的兩端又可看作相對代數內部和代數閉包概念的某種推廣(這裏用A的錐包代替A的仿射包來考慮) ^[1]  。

每個（半）範數是一個次線性函數。 相反的情況是不正確的，因為（半）規範可以在任何字段（不一定是有序的）上具有其域向量空間，並且必須具有R作為其代碼域。

範數，是具有“長度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，範數是一個函數，是矢量空間內的所有矢量賦予非零的正長度或大小。半範數可以為非零的矢量賦予零長度。

定義範數的矢量空間是賦範矢量空間；同樣，定義半範數的矢量空間就是賦半範矢量空間。

在二維的歐氏空間R中定義歐氏範數，在該矢量空間中，元素被畫成一個從原點出發的帶有箭頭的有向線段，每一個矢量的有向線段的長度即為該矢量的歐氏範數。