線性

卷積(Convolution)既是一個由含參變量的無窮積分定義的函數，又代表一種運算。其運算性質在線性系統理論、光學成像理論和傅里葉變換及其應用中經常用到。

卷積的運算性質有線性特性，複函數的卷積，可分離變量，卷積符合交換律，卷積符合結合律，座標縮放性質，卷積位移不變性，函數f（x，y）與

函數的卷積。

其中線性特性可描述為：

設a，b為任意常數，則對於函數f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)，

{af(x，Y)+bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y)+bh(x，y)*g(z，y)。

同樣有：

f(x，y)*{ah(x，y)+bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y)+bf(x，y)*g(x，y) 。 ^[1] 

卷積運算是線性時不變系統分析的重要工具，很多濾波器的設計中都要用到卷積運算。下面給出線性卷積運算的定義。設有離散信號x(n)和y(n)，其線性卷積為：

。

與線性相關運算不同的是：

①卷積運算時，y（n）要先反折得到y(-n)。

②m>0表示y(-n)序列右移，m<0表示左移，不同的m得到不同的

值。其餘與相關計算相同。線性卷積運算的簡潔表示為：

。

式中的

表示線性卷積運算符。

令

與

相比較，

則有

。

因而線性卷積運算結果序列點長也是序列x(n)的長度加上y(n)長度再減去1。

再令

中k=m—n，則n=m-k，

得

。

因而卷積運算交換先後不影響結果。 ^[2]