正交子空間

若內積空間中兩向量的內積為0，則它們正交。類似地，若內積空間中的向量v與子空間A中的每個向量都正交，那麼這個向量和子空間A正交。若內積空間的子空間A和B滿足一者中的每個向量都與另一者正交，那麼它們互為正交子空間。

令A為一m×n矩陣，並令x∈ N(A)，N(A)為A的零空間．由於Ax=0，我們有

其中i=1，…，m．方程(1)説明，x與

的第i個列向量正交，其中i=1，…，m．由於x和

的每一個列向量正交，所以它和

的列向量的任何線性組合也正交．因此，若y為

的列空間中的任何一個向量，則

=0．於是，N(A)中的每一向量都和

的列空間中的任何向量正交．當Rⁿ的兩個子空間具有這個性質時，稱它們是正交的 ^[2]  ．

定義 設X和Y為Rⁿ的子空間，若對每一x∈X及y ∈ Y都有

=0，則稱X和Y為正交的(orthogonal)．若X和Y是正交的，我們記為X⊥Y．

正交子空間的概念並不總是和我們直觀概念中的垂直一樣．例如，教室的牆壁和地板“看起來”是正交的，但是xy平面和yz平面並不是正交的子空間．事實上，可以考慮向量x1=(1，1，0)T及X2=(0，1，1)T，它們分別在xy和yz平面上．由於

所以子空間不是正交的．

對應於z軸的子空間和對應於xy平面的子空間是正交的。

定義 令Y為Rⁿ的子空間．Rⁿ中所有與Y中的每一向量正交的向量集合記為 ^[2] 

因此

集合Y^⊥稱為Y的正交補(orthogonal complement)．

令A為一m×n行矩陣,一個向量b∈R^m在A的列空間中的充要條件是對某X∈Rⁿ，有b=Ax．如果將A看成是將Rⁿ映射為R^m的線性變換．則A的列空間和A的值域是相同的．我們記A的值域為R(A)．則

的列空問R(

)為Rⁿ的一個子空間：

除了R(

)的列空間包含Rⁿ中的向量(n×1矩陣)而不是n元組外，它和A的行空問在本質上是相同的．因此，y∈ R(

)的充要條件為

在A的行空間中．

若U和V為一個向量空間W的子空間，且每一個w∈W可以唯一地寫為一個和u+v，其中u∈U，且v∈V，則我們稱W為U與V的直和(direct sum)，並記作:W=U⊕V ^[2]  .

定理1(基本子空間定理) 若A為一m×n矩陣，則

定理2 若S為Rⁿ的一個子空間，則dimS+dimsS^T=0+n=n,若{x1，…，

xr}為S的一組基，且{x(r+1)，…，xn}為S^⊥的一組基，則{X1，…，xr，x(r+1)，…，xn}為Rⁿ的一組基 ^[2]  ．

定理3 若S為Rⁿ的一個子空間，則 ^[2] 

定理4 若S為Rⁿ的一個子空間，則 ^[2] 

推論5 若A為一m×n矩陣，且b ∈R^m，則或者存在一個向量x∈Rⁿ使得Ax=b，或者存在一個向量y∈R^m使得

=0且

≠0 ^[2]  ．