正交化

線性無關向量組未必是正交向量組，但正交向量組又是重要的，因此就有一個問題：能否從一個線性無關向量組

出發，構造出一個標準正交向量組

，並且使向量組

與向量組

等價（

）呢?回答是肯定的，通過施密特正交化方法就可以實現。

設{xn}是內積空間

裏面可列個或有限個線性無關的向量，則必定存在

中的標準正交系{en}使得對每個正整數n（當{xn}中只含有m個向量，要求n≤m），xn是e1，e2，…，en的線性組合。 ^[1] 

下面就來介紹這個方法，由於把一個正交向量組中每個向量經過單位化，就得到一個標準正交向量組，所以，上述問題的關鍵是如何由一個線性無關向量組來構造出一個正交向量組，我們以3個向量組成的線性無關組為例來説明這個方法。設向量組

線性無關，我們先來構造正交向量組

，並且使

與向量組

等價（

）。按所要求的條件，

是

的線性組合，

是

的線性組合，

為方便起見，不妨設

其中，數值k的選取應滿足

與

垂直，即

，注意到

於是得

，

從而得

，

對於上面已經構造的向量

與

，再來構造向量

，為滿足要求，可令

，其中，

,

的選取應滿足

分別與向量

與

垂直，

即

此解得

於是得

容易驗證，向量組

是與

等價的正交向量，若再將

單位化，即令

（i=1,2,3）則

就是滿足要求的標準正交向量組 ^[2]  。

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求歐氏空間正交基的一種方法。從歐氏空間任意線性無關的向量組α1，α2，……，αm出發，求得正交向量組β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm與向量組β1，β2，……，βm等價，再將正交向量組中每個向量經過單位化，就得到一個標準正交向量組，這種方法稱為施密特正交化。