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線性獨立
鎖定
線性獨立一般是指向量的線性獨立,指一組向量中任意一個向量都不能由其它幾個向量線性表示。
- 中文名
- 線性無關
- 外文名
- linearly independent
- 所屬學科
- 數理科學
- 相關概念
- 線性表示、線性相關、線性相依等
線性獨立概念引入
例如,一個運輸企業Y有n輛汽車
,那麼Y(在單位時間)的收入(記為
)可表為
這是個線性函數,其係數表示各自的貢獻率,
可以為0或負數,比如可表企業的定常支出等。這時則説(企業內)各車之間的關係是線性的。
線性獨立定義
顯然,若這m+1個向量不能夠寫成上面兩個式子的形式,或者換個説法只有當
的情況下以上兩式才成立,則稱這m+1個向量是線性獨立的。
線性獨立舉例説明
例如有以下三個向量
若將A向量除去,向量B與向量C則是線性獨立的,這是因為B≠kC,k為任意常數.或者説只有
才能使得
線性獨立關係
線性獨立與矩陣秩的關係
不難證明若有
階矩陣
線性獨立定理1
線性獨立定理2
設A為m×n階矩陣,如果rankA=r,則其m個行向量中有r個是線性獨立的,其他(m—r)個行向量可用其線性組合表出。此外n個列向量中也有r個是線性獨立的,其它(n-r)個列向量亦可用其線性組合表出。
由此可知,A矩陣的秩的數目就是A矩陣的最大的線性獨立的行(列)向量的數目。例如
線性獨立定理3
設A為m×n階矩陣,又已知m≤n,如果其中m個行向量是線性獨立的,則A矩陣有最大可能的秩,其秩為m。如果n≤m,若其中n個列向量是線性獨立的,則A矩陣有最大可能的秩,其秩為n。