秩

用行列式定義

設矩陣

中有一個

階非零子式

，且所有

階子式（如果存在的話）全等於0，那麼

稱為矩陣

的最高階非零子式，數

稱為矩陣

的秩，記為

.並規定零矩陣的秩等於0。 ^[1] 

考慮線性映射：

對於每個矩陣

，

都是一個線性映射，同時，對每個的

線性映射

，都存在矩陣

使得

。也就是説，映射

是一個同構映射。所以一個矩陣A的秩還可定義為

的像的維度（像與核的討論參見線性映射）。矩陣A稱為f_A的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性映射而不需要指定矩陣，因為每個線性映射有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為n減f的核的維度；秩-零化度定理聲稱它等於

的像的維度。 ^[2] 

設有向量組

，若能在

中選出

個向量

，滿足

(i)向量組

線性無關；

(ii)向量組

中任意

個向量（如果有的話）都線性相關，

那麼稱向量組

是向量組

的一個最大無關組，其所含向量個數

稱為向量組

的秩，記為

. ^[1] 

用線性空間定義

在一個

維線性空間

中，一個向量組

的秩表示的是其生成的子空間的維度。考慮

矩陣

，將

的秩定義為向量組

的秩，則可以看到如此定義的

的秩就是矩陣

的線性無關縱列的極大數目，即

的列空間的維度(列空間是由

的縱列生成的

的子空間)。因為列秩和行秩是相等的，我們也可以定義

的秩為

的行空間的維度。 ^[2] 

(1)

;

(2)

;

(3)若

，則

；

(4)若

可逆，則

；

(5)當且僅當存在可逆矩陣

使得

(其中

表示

階單位矩陣)時，

；

(6)若

為方陣(即

)，則

與

可逆等價；

(7)

;

(8)

;

(9)

,

推廣到多個矩陣的情況，即

；

(10)若

，則

; ^[1] 

考慮域

上的

矩陣

，其描述的線性映射記為

：

(1)當且僅當

(即矩陣

列滿秩)時，

是單射；

(2)當且僅當

(即矩陣

行滿秩)時，

是滿射；

(3)矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數（即秩-零化度定理）。 ^[3] 

(1)矩陣的秩等於它的列向量組的秩，也等於他的行向量組的秩；

(2)向量

能由向量組

線性表示的充要條件是

;

(3)向量組

能由向量組

線性表示的充要條件是

(4)若向量組

能由向量組

線性表示，則

;

(5)向量組

線性相關的充要條件是

，其線性無關的充要條件

是; ^[1] 

計算矩陣

的秩的最容易的方式是利用矩陣初等變換（亦即高斯消去法），從而得到與矩陣

等價的行階梯形矩陣，它的非零行的數目即為該行階梯形矩陣的秩，亦即矩陣

的秩。

例如矩陣

對其應用初等行變換可得

它有三個非零的橫行，故

. ^[1] 

注意：使用計算機按上述方法求矩陣的秩時，可能涉及浮點數。此時基本高斯消去(LU分解)可能是不穩定的，可以使用奇異值分解(SVD)或有支點(pivoting)的QR分解。秩的數值判定要求對一個值比如來自 SVD 的一個奇異值是否為零的依據，實際選擇依賴於矩陣和應用二者。 ^[3] 

解線性方程組

記線性方程組的係數矩陣為

，增廣矩陣為

，則

(i)

，方程組有惟一解；

(ii)

，方程組有無窮解；

(iii)

，方程組無解。 ^[1] 

判斷向量組的線性相關性

參見“性質”一節。

在解析幾何中，矩陣的秩可用來判斷空間中兩直線、兩平面及直線和平面之間的關係； ^[4] 

在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的（或可觀察的）。