線性表示

定義1 設x₁，x₂，…，x_n是線性空間E的有限個向量，x∈E，如果存在數c₁，c₂，…，c_n使得

則稱x可由x₁，x₂，…，x_n線性表示，或x是x₁，x₂，…，x_n的線性組合。 ^[1] 

例1 ^[2]  任意一個n維向量

都是向量組

的一個線性組合。因為

例2 ^[2]  由定義1可以立即看出，零向量是任一向量組的線性組合（只要取係數全為0就可以了）。

定義2 如果向量組

中每一個向量

都可以由向量組

線性表示，那麼向量組

就稱為可由向量組

線性表示。如果兩個向量組互相可以線性表示，它們就稱為等價。

例如，設

則向量組

與向量組

是等價的。

注：向量組之間的等價滿足反身性、對稱性和傳遞性。 ^[2] 

定義3 如果向量組

中有一個向量可以由其餘的向量線性表示，那麼向量組

稱為線性相關的。

例如，向量組

是線性相關的，因為

注：由定義3可知，任意一個包含零向量的向量組一定是線性相關的。 ^[2] 

2.向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大於向量A的秩。反之不一定成立。

3.① 一個向量可由向量組中其餘向量線性表示，前提是這個向量組線性相關。

②線性相關的向量組中並不是任一向量都可由其餘向量線性表示；但當其餘向量線性無關時，這個向量必可由其餘向量線性表示。

4.零向量可由任一組向量線性表示。

5.向量組α₁，α₂，……，α_m中每個向量都可由向量組本身線性表示。

6.任一n維向量α=（α₁，α₂，……，α_m）都可由n維單位向量組線性表示。

7.設α₁，α₂，……，α_m線性無關，而α₁，α₂，……，α_m，ß線性相關，則β可由α₁，α₂，……，α_m線性表示，且表示是唯一的。 ^[2]