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列空間
鎖定
若矩陣A=[a1,a2,…,an]∈Cm×n為復矩陣,則其列向量的所有線性組合的集合構成一個子空間,稱為矩陣A的列空間(column space)或列張成(column span),用符號CoI(A)表示。
- 中文名
- 列空間
- 外文名
- column space
- 所屬學科
- 數學(矩陣)
- 別 名
- 列張成
- 相關概念
- 復矩陣,列向量等
列空間基本介紹
行向量、列向量 若A為一m×n矩陣,A的每一行為一個實的n元組,於是可將其看成是R1×n中的一個向量。對應於A的m個行的向量稱為A的行向量(row vector)。類似地,A的每一列可以看成是Rm中的一個向量,且稱這n個向量為A的列向量(column vector)。
行空間、列空間 如果A為一m×n矩陣,由A的行向量張成的R1×n的子空間稱為A的行空間(row space)。由A的各列張成的Rm的子空間稱為A的列空間(column space)。
例1 令
列空間列空間與線性方程組
在研究線性方程組時,行空間和列空間的概念十分有用,一個方程組
可寫為
定理1(線性方程組的相容性定理) 一個線性方程組
相容的充要條件是b在
的列空間中。
若將b用零向量替代,則(1)化為
定理2 令
為一m×n矩陣, 當且僅當
的列向量張成Rm時,對每一
,線性方程組
是相容的,當且僅當
的列向量線性無關時,對每一
,方程組
至多有一個解。
推論 當且僅當一個n×n矩陣
的列向量為
的一組基時,
是非奇異的。
一般地,矩陣的秩和其零空間的維數加起來等於矩陣的列數。一個矩陣的零空間的維數稱為矩陣的零度(nullity)。
列空間相關定理
定理4 兩個行等價的矩陣有相同的行空間。
證明: 若B行等價於A,則B可由A經有限次行運算得到。因此,B的行向量必為A的行向量的線性組合。所以,B的行空間必為A的行空間的子空間,因為A行等價於B,由相同的原因,A的行空間是B的行空間的子空間。
定義 A的行空間的維數稱為矩陣A的秩(rank)。
例2令
一般地,若A為一m×n矩陣,且
是A的行階梯形,則由於當且僅當
時,
,故它們的列向量滿足相同的依賴關係。
證明: 若A為一秩為r的m×n矩陣,則A的行階梯形
將有r個首1元素。
中對應於首1元素的列將是線性無關的。然而,它們並不構成A的列空間的基,這是因為,一般地,A和
有不同的列空間。令
為消去
中自由變量所在的列得到的新矩陣。從A中消去相應的列,並記新矩陣為
。矩陣
和
也是行等價的。因此,若x為
的一個解,則x必為
的解。因為
的各列是線性無關的,故x必為0,因此,
的各列也是線性無關的,因為
有r列,所以A的列空間的維數至少為r。因為對任何矩陣,其列空間的維數大於或等於行空間的維數,將這個結論應用於
,我們有
dim(A的行空間)=dim(
的列空間)
≥dim(
的行空間)
=dim(A的列空間)
因此,對任何矩陣A,行空間的維數必等於列空間的維數。
我們可以利用A的行階梯形
求A的列空間的一組基。我們只需求
中對應於首1元素的列即可。A中的相應列將是線性無關的,並構成A的列空間的一組基。