傅里葉級數

法國數學家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。

從而極大地推動了偏微分方程理論的發展。在中國，程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅里葉級數。他首先證明多元三角級數球形和的唯一性定理，並揭示了多元傅里葉級數的里斯- 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數曾極大地推動了偏微分方程理論的發展。在數學物理以及工程中都具有重要的應用。 ^[1] 

給定一個週期為T的函數x(t)，那 麼它可以表示為無窮級數：

（j為虛數單位）（1）

其中，

可以按下式計算：

（2）

注意到；是週期為T的函數，故k 取不同值時的週期信號具有諧波關係（即它們都具有一個共同週期T）。k=0時，（1）式中對應的這一項稱為直流分量，k=1時具有基波頻率，稱為一次諧波或基波，類似的有

二次諧波，三次諧波等等。

傅里葉級數的收斂性：滿足狄利赫裏條件的週期函數表示成的傅里葉級數都收斂。狄利赫裏條件如下：

在任何週期內，x(t)須絕對可積；在任一有限區間中，x(t)只能取有限個最大值或最小值；

在任何有限區間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。

吉布斯現象：在x(t)的不可導點上，如果我們只取（1）式右邊的無窮級數中的有限項作和x(t)，那麼x(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號。

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味着這兩個向量之間沒有任何相關性，例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是説，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。三角函數族的正交性用公式表示出來就是：

奇函數，可以表示為正弦級數，而偶函數，則可以表示成餘弦級數：

只要注意到歐拉公式：，這些公式便可以很容易從上面傅里葉級數的公式中導出。

類似於幾何空間上矢量的正交分解，週期函數的傅里葉級數是在內積空間上函數的正交分解。其正交分解從

基推廣到Legendre（勒讓特，1775-1837）多項式和Haar（哈爾，1885-1993）小波基等，稱為廣義傅里葉級數。

任何正交函數系

，如果定義在[a,b]上的函數f(x）只具有有限個第一類間斷點，那麼如果f(x）滿足封閉性方程：

（4）

那麼級數

（5）

必然收斂於f(x），其中：

（6）

事實上，無論（5）時是否收斂，我們總有：

成立，這稱作貝塞爾(Bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因為對於任意的單位正交基

，向量x在

上的投影總為

。 ^[2]