單位向量

在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的只有大小，沒有方向的量叫做數量（物理學中稱標量）。

向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。 ^[1]  如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角座標系中，也能把向量以數對形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫，例如向量勢對應於物理中的勢能。

幾何向量的概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對錶示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閲讀時需按照語境來區分文中所説的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設置座標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上介定範數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

單位向量是指模等於1的向量。由於是非零向量，單位向量具有確定的方向。

一個非零向量除以它的模，可得所需單位向量。設原來的向量是

，則與它方向相同的的單位向量

；

一個單位向量的平面直角座標系上的座標表示可以是：(n,k) ，則有n²+k²=1。其中k/n就是原向量在這個座標系內的所在直線的斜率。這個向量是它所在直線的一個單位方向向量。不同的單位向量，是指它們的方向不同。對於任意一個非零向量a，與它同方向的單位向量記作

。

單位向量説來簡單，但是可以總結出一些性質，應用恰當，會給解題帶來方便。與單位向量有關的性質如下:

（1）單位向量的長度為1個單位，方向不受限制.

（2）起點為原點的單位向量，終點分佈在單位圓上，常可設為

，反之亦然。

（3）如果AB為非零向量，那麼與AB共線的單位向量為

（4）已知角BAC，如果向量

，那麼

是角BAC平分線的方向。 ^[2] 

例1，已知

，求

的值。

解答：設

，

，則

，故

λ

，即

λ，

λ，故

。

例2，在三角形ABC中，D在AB上，CD平分角ACB，若

、

，

,

則

等於？

由上述性質（4）可得，

。 ^[3]