非零向量

在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的只有大小，沒有方向的量叫做數量（物理學中稱標量）。

印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。 ^[1]  如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角座標系中，也能把向量以數對形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理學（Physics）和工程學（Engineering）中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移（Displacement），球撞向牆而對其施加的力（Force）等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫，例如向量勢對應於物理中的勢能（Potential Energy）。

幾何向量的概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對錶示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閲讀時需按照語境來區分文中所説的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設置座標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上介定範數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

向量AB的大小，也就是向量AB的長度（或稱模），記作

。

平面向量（x，y），模長是：

。

空間向量（x，y，z），其中x，y，z分別是三軸上的座標，模長是：

。

長度為零的向量是零向量（Zero Vector）， ^[2]  也即模等於零的向量，記作0。

注意零向量的方向是無法確定的。但我們規定：零向量的方向與任一向量平行，與任意向量共線，與任意向量垂直。零向量的方向不確定，但模的大小確定。零向量與任意向量的數量積為0。

非零向量是指長度不為零的向量。

一般地，設a≠0，b≠0，a與b的夾角為θ，數量積a·b的符號與a、b夾角的取值範圍具有以下充要條件：

①θ為鋭角：a·b＞0且a、b不同向；

②θ為直角：a·b=0；

③θ為鈍角：a·b＜0且a、b不反向。

在涉及到兩個向量夾角的問題中應注意正確使用，否則極易出錯。 ^[3] 

一個非零向量的單位向量有幾個？

與它平行的單位向量有2個，與它同向的單位向量有1個。

教材沒有定義過“一個非零向量的單位向量”到底是指哪一種含義。這類問題要明確意義，具體情況具體分析。

説某個非零向量的單位向量：只有一個，就是和它同方向的單位向量。

説與某個非零向量共線的單位向量：有兩個，一個同方向，一個反方向。

説單位向量有多少個？有無數個，任意方向都有一個單位向量。