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基向量
鎖定
- 中文名
- 基向量
- 外文名
- base vector
- 定 義
- 基的元素稱為基向量
- 相關術語
- 單位向量
- 領 域
- 數學
- 應用學科
- 線性代數
- 類 型
- 數學術語
基向量簡述
在線性代數中，基(basis)（也稱為基底）是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間的基是它的一個特殊的子集，基的元素稱為基向量。向量空間中任意一個元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合。如果基中元素個數有限，就稱向量空間為有限維向量空間，將元素的個數稱作向量空間的維數。
[1]
使用基底可以便利地描述向量空間。比如説，考察從一個向量空間
射出的線性變換f，可以查看這個變換作用在向量空間的一組基
上的效果。掌握了
，就等於掌握了 f對
中任意元素的效果。
不是所有空間都擁有由有限個元素構成的基底。這樣的空間稱為無限維空間。某些無限維空間上可以定義由無限個元素構成的基。如果承認選擇公理，那麼可以證明任何向量空間都擁有一組基。一個向量空間的基不止一組，但同一個空間的兩組不同的基，它們的元素個數或勢（當元素個數是無限的時候）是相等的。一組基裏面的任意一部分向量都是線性無關的；反之，如果向量空間擁有一組基，那麼在向量空間中取一組線性無關的向量，一定能將它擴充為一組基。在內積向量空間中，可以定義正交的概念。通過特別的方法，可以將任意的一組基變換成正交基乃至標準正交基。
基向量定義
更詳細來説，設
是在係數域F（比如實數域R或複數域C）上的向量空間V的有限子集。如果 滿足下列條件：
對任意
，如果
，則必然
；
對任意
，可以選擇
，使得
。
就説B 是向量空間
的一組基。第二個條件中，將一個向量
表示成
的形式，稱為向量 v在基底 下的分解。
稱為向量v在基底B下的分量表示。
有有限基的向量空間叫做有限維的空間。要處理無限維的空間，必須把上述基的定義推廣為包括無限的基集合。如果向量空間V的一個子集 (有限或無限B滿足：
它的所有有限子集
滿足上面的第一個條件（即線性無關）；
對任意
，可以選擇
，以及
，使得
。
就稱B是無限維空間
的一組基。
基向量性質
設B是向量空間
的子集。則B是基，當且僅當滿足了下列任一條件：
B是
中線性無關向量的極大集合，就是説B在
中是線性無關集合，而且
中沒有其他線性無關集合包含它作為真子集。
如果承認良序定理或任何選擇公理的等價物，那麼作為推論，可以證明任何的向量空間都擁有一組基。（證明：良序排序這個向量空間的元素。建立不線性依賴於前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反過來也是真的。一個向量空間的所有基都擁有同樣的勢（元素個數），叫做這個向量空間的維度。這個結果叫做維度定理，它要求系統承認嚴格弱形式的選擇公理即超濾子引理。
基向量例子
- 考慮所有座標 (a,b)的向量空間R，這裏的a和b都是實數。則非常自然和簡單的基就是向量e1= (1,0)和e2= (0,1):假設v= (a,b)是R中的向量，則v=a(1,0) +b(0,1)。而任何兩個線性無關向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R的一個基。
- 更一般的説，給定自然數n。n個線性無關的向量e1,e2, ...,en可以在實數域上生成R。因此，它們也是的一個基而R的維度是n。這個基叫做R的標準基。
- 設V是由函數e和e生成的實數向量空間。這兩個函數是線性無關的，所有它們形成了V的基。
- 設R[x]指示所有實數多項式的向量空間；則 (1, x, x, ...)是R[x]的基。R[x]的維度因此等於aleph-0。
基向量基的擴張
如上所述，一個向量空間的每一組基都是一個極大的線性無關集合，同時也是極小的生成集合。可以證明，如果向量空間擁有一組基，那麼每個線性無關的子集都可以擴張成一組基（也稱為基的擴充定理），每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基。特別地，在任何線性無關集合和任何生成集合之間有一組基。以數學語言來説：如果L是在向量空間
中的一個線性無關集合而集合G是一個包含L而且能夠生成
的集合，則存在
的一組基B，它包含了L而且是G的子集：
。
以上兩個結論可以幫助證明一個集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個向量空間的維度，證明一個集合是它的基需要證明這個集合不僅是線性無關的，而且能夠生成整個空間。如果已知這個向量空間的維度（有限維），那麼這個集合的元素個數必須等於維數，才可能是它的基。在兩者相等時，只需要證明這個集合線性無關，或這個集合能夠生成整個空間這兩者之一就夠了。這是因為線性無關的子集必然能擴充成基；而這個集合的元素個數已經等於基的元素個數，需要添加的元素是0個。這説明原集合就是一組基。同理，能夠生成整個空間的集合必然包含一組基作為子集；但假如這個子集是真子集，那幺元素個數必須少於原集合的元素個數。然而原集合的元素個數等於維數，也就是基的元素個數，這是矛盾的。這説明原集合就是一組基。
基向量有序基和座標
基底是作為向量空間的子集定義的，其中的元素並不按照順序排列。為了更方便相關的討論，通常會將基向量進行排列。比如説將：
寫成有序向量組：
。這樣的有序向量組稱為有序基。在有限維向量空間和可數維數的向量空間中，都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用確定的數組表示，稱為向量的座標。例如，在使用向量的座標表示的時候習慣談論“第一個”或“第二個”座標，這隻在指定了基的次序前提下有意義。在這個意義下，有序基可以看作是向量空間的座標架。
證明：這個證明利用了
的標準基是有序基的事實。
首先假設
其中的
是
的標準基。
反過來説，給定一個有序基，考慮如下定義的映射
- φ(x) =x1v1+x2v2+ ... +xnvn,
這裏的x=x1e1+x2e2+ ... +xnen是F的一個元素。不難檢查出φ是線性同構。
這兩個構造明顯互逆。所以V的有序基一一對應於線性同構F→V。
確定自有序基{vi}線性映射φ的逆映射為V裝備了座標：如果對於向量v∈V,φ(v) = (a1,a2,...,an) ∈F，則aj=aj(v)的分量是v的座標，在v=a1(v)v1+a2(v)v2+ ... +an(v)vn的意義上。
從向量v到分量aj(v)的映射是從V到F的線性映射，因為φ是線性的。所以它們是線性泛函。它們形成V的對偶空間的基，叫做對偶基。
