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對偶空間
鎖定
在
數學裏,任何
向量空間V都有其對應的對偶向量空間(或簡稱為對偶空間),由
V的線性泛函組成。此對偶空間具有一般向量空間的結構,像是向量加法及標量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。在
拓撲向量空間的情況下,由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。
[1]
對偶空間是行向量(1×n)與列向量(n×1)的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行併為測度,分佈及
希爾伯特空間提供重要的觀點。
對偶空間的應用是
泛函分析理論的特徵。
傅立葉變換亦內藴對偶空間的概念。
- 中文名
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對偶空間
- 外文名
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Dual Space
- 所屬學科
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泛函分析
- 定 義
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行向量與列向量的關係的抽象化
- 相關術語
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線性函數
- 類 型
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數學術語
對偶空間定義
對偶空間線性函數
設E為
賦範空間,L(E,
)為E到
的連續線性映射組成的實
巴拿赫空間,稱為E的
對偶空間
[1]
。
對偶空間其他定義
對偶空間雙對偶空間
考慮V*的對偶空間V**,存在從V到V**的自然映射
,定義為:
,
。
對偶空間有限維的情形
V和其對偶空間V*是同構的(因此dimV=dimV*)當且僅當dimV有限。同構映射的構造方式有兩個:
基於
基的同構映射:給出V的基
,則可以通過以下方式映射至V*的基
:對
,
;對
,
。
[2]
基於
雙線性函數的同構映射:給定V上的一個雙線性函數
,可以誘導出同構映射
,其中
;反之給定同構映射
,也可以定義雙線性函數:
類似地,對V和雙對偶空間V**,當且僅當dimV有限時,自然映射
就是同構映射。
有限維向量空間V和其雙對偶空間V**存在自然同構。這意味着對有限維線性空間V,我們只需考慮V和V*即可,更多次的對偶可以用同構處理。
對偶空間無限維的情形
若V是無限維的,則V和V*不同構。進一步,dimV*>dimV。並且沒有簡單方法從V的基產生出V*的基。
例:空間
R的元素是實數列,其擁有很多非零數字。
R的雙對偶空間是所有實數數列的空間。這些數列
被用於元素
而產生
。
對偶空間張量代數
在
張量的語言中,V的元素被稱為逆變(contravariant)向量而V*的元素被稱為
協變(covariant)向量,同向量(co-vectors)或一形(one-form)。
對偶空間線性映射轉置
對任意向量空間
V,
W,定義
L(
V,
W) 為所有從 V 到 W 的線性映射組成的向量空間。則
f|->
f 產生從
L(
V,
W) 至
L(
W ,
V )的
單射 ;這是個
同構當且僅當 W 是有維限的。
若 線性映射
f 表示作其對
V,
W 的基之
矩陣 A , 則
f 表示作其對
V ,
W 的對偶基之
轉置矩陣。 若
g: W → X 是另一線性映射,則 (
g o
f) =
f o
g.
對偶空間簡介
對偶空間構造能夠在無限維度空間進行併為
測度,分佈及
希爾伯特空間提供重要的觀點。
對偶空間的應用是泛函分析理論的一特徵。
傅立葉變換亦內藴對偶空間的概念。
對偶空間連續對偶空間
處理
拓撲向量空間時,我們一般僅感興趣於該空間射到其基域的
連續線性泛函。由此導致
連續對偶空間之概念,此乃其代數對偶空間之一子空間。向量空間
V 之連續對偶記作
V′。此脈絡下可逕稱連續對偶為
對偶。
線性賦範向量空間
V (如一
巴拿赫空間或一
希爾伯特空間)之連續對偶
V′ 產生一線性賦範向量空間。對一
V 上之連續線性泛函。
對偶空間例子
令 1 <
p < ∞ 為實數,並考慮所有序列
a = (
an) 構成之
巴拿赫空間,
有限。以 1/
p + 1/
q = 1 定義
q,
l 其連續對偶遂自然等同於
l:給定一元素 φ ∈ (
l),
l 中相應元素為序列 (φ(
en)) ,其中
en 謂第
n 項為 1 且餘項皆 0 之序列。反之,給定一元素
a = (
an) ∈
l,
l 上相應之連續線性
泛函φ定為 φ(
a) = ∑
nanbn (對一切
a = (
an) ∈
l)(見 Hölder不等式)。
准此,
l之連續對偶亦自然
同構於
l。再者,
巴拿赫空間 c (賦以上確界
範數之全體收斂序列)及
c0(
c 中收斂至零者)之連續對偶皆自然同構於
l。
對偶空間性質
若
V 為
希爾伯特空間,則其連續對偶亦然,並反
同構於
V;此蓋黎茲表示定理所明,物理學人賴以描述
量子力學之bra-ket 符號肇端乎是。
類似雙重代數對偶,對連續線性算子亦有連續
單射 Ψ :
V →
V '',此映射實為
等距同構,即 ||Ψ(
x)|| = ||
x|| 對一切
V 中
x 皆真。使 Ψ 為
雙射之空間稱自反空間。
若
V 之對偶
可分,則
V 亦可分。反之則不然;試取空間
l1,其對偶
l∞ 不可分。
- 參考資料
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1.
Walter Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill Science. 1991. ISBN 978-0070542365.
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2.
Paul Halmos. Finite dimensional vector spaces. Springer. 1974. ISBN 0387900934.
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3.
Bourbaki, Nicolas. Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-64243-9.