CW復形

CW復形是劃分為各維胞腔的豪斯多夫空間。

設X為豪斯多夫空間。則CW復形為X與其閉子空間上升列X⁰⊂X¹⊂X²⊂...，滿足

(1)X⁰定義了離散拓撲。

(2)Xⁿ⁺¹為j_λ:Sⁿ_λ→Xⁿ與Sⁿ_λ↪Dⁿ⁺¹的推出。

(3)X=⋃_i≥0Xⁱ。

其中，X⁰的點稱為頂點或0胞腔，Xⁿ稱為n骨架。 ^[3] 

CW復形是由稱為底空間的豪斯多夫空間X，和X劃分為不相交子集全體{e_d}構成的，使下述條件滿足：

1、每個e_d拓撲地是一個n(d)>0維的開胞腔。進而，對每個胞腔e_d，存在一個連續映射f:D^n(d)→X，它把圓盤D^n(d)的內部同胚地映到e_d上（f稱為胞腔e_d的示性映射）；

2、屬於閉包

而不屬於e_d的每個點，必定位於低維胞腔e_β中；

3、閉包有限性。X的每點包含在一個有限的子復形中；

4、懷特黑德拓撲/弱拓撲。X的拓撲為它的n維骨架Xⁿ拓撲的歸納極限：X的一個子集A是閉的，當且僅當對所有Xⁿ都有A⋂Xⁿ的交是閉的。 ^[1]  其中X⁰定義了離散拓撲。 ^[3] 

1.若(X,A)為相對CW復形，則商空間X/A為CW復形，其中一個頂點對應A，且每個n維胞腔對應(X,A)中的相對n維胞腔。

2.對於若干基點為頂點的CW復形X_i，其楔積為CW復形，且每個X_i都是其子復形。

3.若A是CW復形X的子復形，Y是CW復形，f:A→Y為胞腔式映射，則X與Y的推出

為CW復形，且

。

4.CW復形的包含映射X_n↪X_n+1的歸納極限為CW復形，且每個X_i都是其子復形。

5.一對CW復形X與Y的積X×Y是CW復形，且每個n維胞腔都由X的p維胞腔與Y的q維胞腔組成，滿足p+q=n。

6.對CW復形X，X×I是CW復形，且

為其子復形，且每個n+1維胞腔都對應X的一個n維胞腔。 ^[2] 

一個CW復形被稱為正則的，當且僅當對每個胞腔eⁿ，n>0，存在一個示性映射

是同胚映射。 ^[3] 

相對CW復形(X,A)的定義與CW復形類似，只是把X⁰定義為A與離散點集的並集。

CW復形X的一些胞腔的並集，稱為X的子復形。

設f為相對CW復形之間的映射，若對所有n∈ℕ，滿足f(Xⁿ)⊂Yⁿ，則稱f為胞腔式映射。 ^[2] 

圖為一維CW復形。 ^[2] 

可三角剖分空間為CW復形。

流形為CW復形 。 ^[4] 

單純復形是CW復形的特例。同倫論中往往需要在拓撲空間上定義滿足某種條件的連續映射，這對非常一般的拓撲空間來説很難着手。但對於CW復形，則可以從低維到高維，在一個一個胞腔上給出定義，即採用“逐層擴張”的方式得到所需要的連續映射。

如果擴張到某一層遇到阻礙，就產生阻礙上閉鏈，阻礙上同調類等，這樣就能利用同調來討論關於連續映射的擴張或同倫等問題。

拓撲學和相關的數學分支中，豪斯多夫空間、分離空間或T₂空間是其中的點都“由鄰域分離”的拓撲空間。在眾多可施加在拓撲空間上的分離公理中，“豪斯多夫條件”是最常使用和討論的。它藴涵了序列、網和濾子的極限的唯一性。豪斯多夫得名於拓撲學的創立者之一費利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓撲空間定義把豪斯多夫條件包括為公理。