弱拓撲

設X為集合，𝓕={f_α:X→Y_α}是一族從X到拓撲空間族Y_α的映射。則使𝓕為連續函數族的X的最弱的拓撲𝓣，稱為由𝓕生成的弱拓撲。 ^[5] 

設Ω為非空集。考慮函數族𝓕，使得對任意f∈𝓕，

為拓撲空間，而有形式f:Ω→

。設

為Ω的使得𝓕的所有函數均為連續函數的拓撲集，則拓撲

稱為由

決定的弱拓撲。 ^[6] 

𝓣的子基為{f_α^-1(U):f_α∈𝓕,U為Y_α中開集}。 ^[7] 

若A為局部凸空間𝒳的凸子集，則A的閉包等同於A的弱閉包。 ^[4] 

賦範空間𝒳上的弱拓撲

是由對偶空間𝒳*的半範數族

生成的拓撲。

若𝒳在弱拓撲下為可度量化空間，則𝒳為有限維向量空間。

若𝒳為無限維向量空間，則𝒳在弱拓撲下非完備空間。 ^[7] 

弱拓撲(weak topology)是一種局部凸拓撲。

對稱地，Y上由半範數族{|<x,·>||x∈X}確定的局部凸拓撲稱為Y的關於對偶X的弱拓撲，記為σ(Y,X)。當X為局部凸空間時，(X,X)為自然對偶，σ(X,X)稱為X的弱拓撲，而σ(X,X)稱為X的弱*拓撲。相應地，X中原有的拓撲稱為強拓撲。一般地，X的弱拓撲比強拓撲弱，從而弱閉集必是強閉集；對於凸集，其逆也成立，即強閉凸集也是弱閉的。集合的弱有界性與強有界性是等價的。

賦範線性空間的深入研究必然遇到弱拓撲問題。事實上，1930年，馮·諾伊曼(von Neumann，J.)就注意到了這一點。這也是需要引入拓撲線性空間的一個原因。

拓撲是集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬於T;

2.T中任意兩個成員的交屬於T;

3.T中任意多個成員的並屬於T;

則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。

設T₁與T₂為集合X上的兩個拓撲。若有關係T₁T₂，則稱T₁粗於T₂，或T₂細於T₁。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。

局部凸空間是最重要的一類拓撲線性空間。設E是拓撲線性空間，如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基，就稱E是局部凸的拓撲線性空間，簡稱局部凸空間，而E的拓撲稱為局部凸拓撲。零元的每個均衡凸鄰域V的閔科夫斯基泛函p_V(x)是E上的連續半範數.反之，設{p_λ|λ∈Λ}是E上一族半範數，E上使p_λ(λ∈Λ)均為連續的最弱拓撲是局部凸的，且零元的均衡凸鄰域基由下面形式的集組成：

這個局部凸拓撲稱為由半範數族{p_λ}確定的局部凸拓撲。如果對任何x∈E(x≠0)，都存在λ∈Λ使p_λ(x)≠0，則{p_λ|λ∈Λ}確定的局部凸拓撲是豪斯多夫拓撲.通常局部凸空間都指豪斯多夫局部凸空間.E中的定向半序點列{x_α}收斂於x∈E等價於對每個λ∈Λ，p_λ(x_α-x)→0.設E₁是由另一半範數族{q_β}確定的局部凸空間，則使線性映射T：E→E₁連續的充分必要條件是，對任意的q_β，總存在有限個λ₁，λ₂，…，λ_n∈Λ和常數c，使不等式： ^[2] 

對一切x∈E成立。

局部凸空間的完備化空間也是局部凸的。根據哈恩-巴拿赫泛函延拓定理，局部凸空間上存在足夠多的非零連續線性泛函。正因為如此，局部凸空間理論成為拓撲線性空間理論中最重要的部分。

關於局部凸空間理論的發展大約是始於迪厄多內(Dieudonné，J.)和施瓦茲(Schwarz，L.)在1949年的工作，它的一個主要推動力是分佈理論，即廣義函數理論。

賦範線性空間是一類可以引進“長度”概念的線性空間。設X是線性空間，X上滿足下列條件的實值函數p(·)稱為X上的範數：

1.p(x)≥0(x∈X);p(x)=0⇔x=0.

2.p(αx)=|α|p(x)(α為數，x∈X).

3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x，y∈X).

對x∈X，p(x)稱為x的範數，通常記為‖x‖.賦有範數的線性空間(X，‖·‖)稱為賦範線性空間，簡稱賦範空間。

拓撲線性空間是一類具有拓撲結構的線性空間。如果實數域或複數域K上的線性空間E同時是有拓撲τ的拓撲空間，並且線性空間的基本運算x+y和αx(x，y∈E，α∈K)分別作為E×E和K×E到E中的映射按τ是連續的，則稱E為(實或復)拓撲線性空間或拓撲向量空間。而τ稱為E的線性拓撲或向量拓撲，零元的均衡的鄰域全體組成零元的鄰域基。滿足T₁分離公理的拓撲線性空間是完全正則的。

拓撲線性空間理論是泛函分析的一個重要分支，其基本概念建立於20世紀30年代，而今已經發展成為一門完整的學科，在純粹數學和應用數學、理論物理、現代力學和現代工程理論中都有廣泛應用。 ^[3]