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強拓撲
鎖定
強拓撲是一種拓撲。局部凸空間X中原有的拓撲,相對於弱拓撲σ(X,X)稱為X的強拓撲。例如賦範線性空間的強拓撲即為範數拓撲。
局部凸空間是最重要的一類拓撲線性空間。設E是拓撲線性空間,如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基,就稱E是局部凸的拓撲線性空間,簡稱局部凸空間,而E的拓撲稱為局部凸拓撲。
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- 中文名
- 強拓撲
- 外文名
- strong topology
- 領 域
- 數學
- 性 質
- 拓撲
- 空 間
- 局部凸空間
- 對偶概念
- 弱拓撲
強拓撲概念
強拓撲(strong topology)是一種拓撲。局部凸空間X中原有的拓撲,相對於弱拓撲σ(X,X)稱為X的強拓撲。例如賦範線性空間的強拓撲即為範數拓撲。對於共軛空間X,記B為X中有界子集全體,對每個有界子集B∈B,定義半範數:
則由半範數族{P(·)|B∈B}確定的X中的局部凸拓撲稱為X的強拓撲,記為β(X,X).X的強拓撲強於弱*拓撲σ(X,X).當X為賦範線性空間時,X的強拓撲就是由有界線性泛函的範數導出的拓撲。
強拓撲弱拓撲
弱拓撲(weak topology)是一種局部凸拓撲。設線性空間對(X,Y)關於雙線性泛函〈·,·〉成為對偶,稱X上由半範數族{|〈·,y〉||y∈Y}確定的局部凸拓撲為X的關於對偶Y的弱拓撲,記為σ(X,Y)。對稱地,Y上由半範數族{|〈x,·〉||x∈X}確定的局部凸拓撲稱為Y的關於對偶X的弱拓撲,記為σ(Y,X)。當X為局部凸空間時,(X,X)為自然對偶,σ(X,X)稱為X的弱拓撲,而σ(X,X)稱為X的弱*拓撲。相應地,X中原有的拓撲稱為強拓撲。一般地,X的弱拓撲比強拓撲弱,從而弱閉集必是強閉集;對於凸集,其逆也成立,即強閉凸集也是弱閉的.集合的弱有界性與強有界性是等價的。
強拓撲拓撲
1.X與空集都屬於T;
2.T中任意兩個成員的交屬於T;
3.T中任意多個成員的並屬於T;
則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間,記為(X,T)。
設T1與T2為集合X上的兩個拓撲。若有關係T1T2,則稱T1粗於T2,或T2細於T1。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時,則稱它們是不可比較的。在集合X上,離散拓撲是最細的拓撲,平凡拓撲是最粗的拓撲。
強拓撲局部凸空間
局部凸空間是最重要的一類拓撲線性空間。設E是拓撲線性空間,如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基,就稱E是局部凸的拓撲線性空間,簡稱局部凸空間,而E的拓撲稱為局部凸拓撲。零元的每個均衡凸鄰域V的閔科夫斯基泛函pV(x)是E上的連續半範數.反之,設{pλ|λ∈Λ}是E上一族半範數,E上使pλ(λ∈Λ)均為連續的最弱拓撲是局部凸的,且零元的均衡凸鄰域基由下面形式的集組成:
這個局部凸拓撲稱為由半範數族{pλ}確定的局部凸拓撲。如果對任何x∈E(x≠0),都存在λ∈Λ使pλ(x)≠0,則{pλ|λ∈Λ}確定的局部凸拓撲是豪斯多夫拓撲.通常局部凸空間都指豪斯多夫局部凸空間.E中的定向半序點列{xα}收斂於x∈E等價於對每個λ∈Λ,pλ(xα-x)→0.設E1是由另一半範數族{qβ}確定的局部凸空間,則使線性映射T:E→E1連續的充分必要條件是,對任意的qβ,總存在有限個λ1,λ2,…,λn∈Λ和常數c,使不等式:
對一切x∈E成立。
局部凸空間的完備化空間也是局部凸的。根據哈恩-巴拿赫泛函延拓定理,局部凸空間上存在足夠多的非零連續線性泛函。正因為如此,局部凸空間理論成為拓撲線性空間理論中最重要的部分。
關於局部凸空間理論的發展大約是始於迪厄多內(Dieudonné,J.)和施瓦茲(Schwarz,L.)在1949年的工作,它的一個主要推動力是分佈理論,即廣義函數理論。
強拓撲賦範線性空間
賦範線性空間是一類可以引進“長度”概念的線性空間。設X是線性空間,X上滿足下列條件的實值函數p(·)稱為X上的範數:
1.p(x)≥0(x∈X);p(x)=0⇔x=0.
2.p(αx)=|α|p(x)(α為數,x∈X).
3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x,y∈X).
強拓撲拓撲線性空間
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