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全純函數

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全純函數 (holomorphic function) 是復理論研究的核心之一，它們是複流形到 C 的處處可微函數。全純比實可微強很多，它直接推出函數無窮階可微並可泰勒展開。“(復) 解析函數 (analytic function)” 可和 “全純函數” 交換使用，但不常用，一般用來指實解析函數。"在一點全純" 可推出在該點的某個開鄰域可微。類似地，可以定義全純多複變函數。全純映射(holomorphic mapping) 是指兩個複流形之間的局部全純函數。 [1] 
中文名
全純函數
外文名
Holomorphic functions
別    名
解析函數
歸    類
數學函數
應用學科
數學
相關術語
亞純函數

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 等價定義
  1. 3 例子
  2. 4 性質
  1. 5 幾個變量
  2. 6 擴展到泛函分析

全純函數定義

設
為開子集，且
是一個單複變函數，稱
在
(復) 可微( [complex] differentiable) 或全純，如果極限
存在。 [2] 
若
在
中處處可微，則稱
在
上全純(holomorphic over
)。

全純函數等價定義

一個單複變函數全純當且僅當它實可微並且滿足柯西-黎曼方程。

全純函數例子

所有關於
的復係數的多項式
函數在
上是全純的.
所有關於
的三角函數
和指數函數
也是 (三角函數和指數函數通過歐拉公式聯繫).
對數函數的主支在集合
上全純. 平方根函數可以定義為
所以任何復對數
全純的地方, 它也全純. 函數
在
上全純.
不是全純的函數的典型例子有複共軛 (complex conjugation)
和取實部
.

全純函數性質

因為復微分是線性的，並且服從積、商、鏈式法則，所以全純函數的和、積和複合是全純的，而兩個全純函數的商在所有分母非
的地方全純。
每個全純函數在每一點無窮可微。它和它自己的泰勒級數相等，而泰勒級數在每個完全位於定義域
內的開圓盤上收斂。泰勒級數也可能在一個更大的圓盤上收斂；例如，對數的泰勒級數在每個不包含0的圓盤上收斂，甚至在復實軸的附近也是如此。證明請參看全純函數解析。
全純函數滿足Cauchy-Riemann方組，該方程組含有兩個偏微分方程，也可以用復偏導算子寫成一個。
在非
導數的點的附近，全純函數是共形的 (或保角的，實際上就是相似在局部的推廣)。因為它保持了圖形的局部角度和形狀 (但尺寸可能改變)。
Cauchy 積分公式表明每個全純函數在圓盤內的值由它在盤邊界上的取值所完全決定。

全純函數幾個變量

多復變量的復解析函數定義為在一點全純和解析，如果它局部可以(在一個多盤，也即中心在該點的圓盤的直積)擴張為收斂的各個變量的冪級數。這個條件比Cauchy-Riemann方程要強。事實上它可以這樣表述:
一個多復變量函數是全純的當且僅當它滿足Cauchy-Riemann方程並且局部平方可積。

全純函數擴展到泛函分析

全純函數的概念可以擴展到泛函分析中的無窮維空間。Fréchet導數條目介紹了巴拿赫空間上的全純函數的概念。
參考資料
  • 1.    張慶彩. 關於全純函數的正規定則[J]. 數學的實踐與認識, 2006, 36(6): 283-286.
  • 2.    姚宗元. C~ n 空間中有界域上的一個積分公式[J]. 中國科學 A 輯, 1992, 1: 000.