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解析函數

鎖定
區域上處處可微分的複函數。
18世紀,歐拉和達朗貝爾在研究水力學時已發現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函數Φ(x,y)與流函數Ψ(x,y)有連續的偏導數,且滿足微分方程組,並指出f(z)=Φ(x,y)+iΨ(x,y)是可微函數,這一命題的逆命題也成立。
柯西把區域上處處可微的複函數稱為單演函數,後人又把它們稱為全純函數、解析函數。黎曼從這一定義出發對複函數的微分作了深入的研究,後來,就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程,或柯西-黎曼條件
中文名
解析函數
外文名
analytic function
提出時間
17世紀
提出者
魏爾斯特拉斯
相關問題
黎曼邊值問題

解析函數簡介

K.魏爾斯特拉斯將一個在圓盤上收斂的冪級數的和函數稱為解析函數,而區域上的解析函數是指在區域內每一小圓鄰域上都能表成冪級數的和的函數。關於解析函數的不同定義在20世紀初被證明是等價的。基於魏爾斯特拉斯的定義,區域上的解析函數可以看作是其內任一小圓鄰域上冪級數的解析開拓 ,關於解析開拓的一般定義是,f(z)與g(z)分別是D與D*上的解析函數,若DÉD* ,且在D*上f(z)=g(z)。則稱f(z)是g(z)由D*到D的解析開拓 。解析開拓的概念可以推廣到這樣的情形 :f(z)與g(z)分別是兩個圓盤D1與D2上的冪級數,且D1∩D2≠ ,在D1∩D2上f(z)=g(z )則也稱f與g互為解析開拓,把可以互為解析開拓的( f(z),Δ)的解析圓盤Δ全連起來,作成一個鏈。它們的並記作Ω,得到了Ω上的一個解析函數,稱它為魏爾斯特拉斯的完全解析函數,這裏可能出現這樣的情形,在連成一個鏈的圓盤中,有一些圓盤重疊在一起,但在這些重疊圓盤的每一個上的解析函數都是不一樣的,它們的每一個都稱為完全解析函數的分支。這樣的完全解析函數實際是一個多值函數。黎曼提出將多值解析函數中的那些重疊的圓盤看作是不同的“葉”,不使他們在求並的過程中只留下一個代表,於是形成了一種稱為黎曼面的幾何模型。將多值函數看作是定義於其黎曼曲面上的解析函數,這樣多值解析函數變成了單值解析函數。

解析函數邊值問題

尋求滿足一定邊界條件的解析函數的一類問題,這是解析函數論在許多理論和實際問題中應用極為廣泛的一個重要分支。下面是兩個最典型的例子。

解析函數黎曼邊值問題

(1)式 (1)式
設l為複平面上一組有向的光滑曲線,把平面分割為若干個連通區域,要求一分區全純函數(即在上述每一個連通區域內全純)φ(z)使 (1)式中G(t),g(t)都是已知函數,而φ +(t)和φ -(t)分別表示當z從l的正側(即沿l正向前進時的左側)和負側(右側)趨於l上一點時φ(z)的極限值亦即邊值。此外還應補充要求φ(z)在無窮遠處至多有一極點。如果l中含有開口弧段,則也應説明要求φ(z)在l的端點附近的性態:具有不到一階的奇異性。在G(t),g(t)滿足一定的條件時,這一問題已完全解決。

解析函數希爾伯特邊值問題

設G為一區域,l為其邊界,取其正向使G在其左側,要求在G內的一全純函數φ(z),使 (2)式中α(t),b(t),с(t)都是l上已給的實函數。特別,當α(t)=1,b(t)=0時,則此希爾伯特邊值問題就是解析函數的狄利克雷問題。當α(t),b(t),с(t)滿足一定的條件時,上述邊值問題已有較完整的討論,但對G為多連通區域的情況還不能説已完全徹底解決。
(2)式 (2)式
有人把黎曼邊值問題稱作希爾伯特邊值問題,而把希爾伯特邊值問題稱作黎曼-希爾伯特邊值問題。這兩個問題是有密切聯繫的,求解它們的主要工具都是柯西型積分。  
進一步推廣是在(1)或(2)中可以含有或者含有φ +(α(t)),φ -(α(t)),其中α(t)為l映於自身的一個同胚映射,保向或逆向,稱為l的位移。這樣,相應的問題就稱為帶共軛的或帶位移的邊值問題,當然也有既帶共軛又帶位移的邊值問題。
如果把(1)或(2)中的φ(z)看作N維分區全純向量,而把G(t),α(t),b(t)看作N×N矩陣,g(t),с(t)也看作N維向量,則就構成了分區全純向量的邊值問題。這類問題雖也有許多工作,但與N=1的情況相比較,還遠遠沒有達到完善的地步。
由於解析函數概念可推廣為廣義解析函數(基於把解析函數的實部、虛部所滿足的柯西-黎曼方程組推廣為較一般的一階偏微分方程組),因此解析函數邊值問題也可推廣為廣義解析函數邊值問題,這是把函數論與偏微分方程結合起來的一個方向。

解析函數應用

解析函數邊值問題和廣義解析函數邊值問題在奇異積分方程方面有廣泛的應用,它們在彈性力學、流體力學方面也有重要的應用。這些方面的理論及其應用,主要是由蘇聯學者建立和發展起來的。自20世紀60年代以來,中國的數學工作者在這些方面也做了不少工作 [2] 

解析函數性質

解析函數奇點

若函數f(z)在點z0不解析,但在z0任一鄰域內總有f(z)的解析點,則稱z0為f(z)的奇點。 [1] 

解析函數定理

單連通域內解析函數的環路積分為0。
復連通域內,解析函數的廣義環路積分(即包括內外邊界,內邊界取順時針為正)為0。
解析函數的導函數仍然是解析函數。

解析函數相關

複變函數,是指以複數作為自變量和因變量的函數 [3]  ,而與之相關的理論就是複變函數論。解析函數是複變函數中一類具有解析性質的函數,複變函數論主要就是研究複數域上的解析函數,因此通常也稱複變函數論為解析函數論。
設A是一個複數集,如果對A中的任一複數z,通過一個確定的規則有一個或若干個複數w與之對應,就説在複數集A上定義了一個複變函數,記為
w=ƒ(z)
這個記號表示,ƒ(z)是z通過規則ƒ而確定的複數。
如果記z=x+iy,w=u+iv,那麼複變函數w=ƒ(z)可分解為w=u(x,y)+iv(x,y);所以一個複變函數w=ƒ(z)就對應着一對兩個實變數的實值函數。
設ƒ(z)是平面開集D內的複變函數。對於z∈D,如果極限存在且有限,則稱ƒ(z)在z處是可導的,此極限值稱為ƒ(z)在z處的導數,記為ƒ'(z)。這是實變函數導數概念的推廣,但複變函數導數的存在卻藴含着豐富的內容。這是因為z+h是z的二維鄰域內的任意一點,極限的存在條件比起一維的實數情形要強得多。一個複變函數如在z的某一鄰域內處處有導數,則該函數必在z處有高階導數,而且可以展成一個收斂的冪級數(見解析函數)。所以複變函數導數的存在,對函數本身的結構有重大影響,而這些結果的研究,構成了一門學科──複變函數論。
複變函數論主要包括單值解析函數理論、黎曼曲面理論、幾何函數論、留數理論、廣義解析函數等方面的內容。
如果當函數的變量取某一定值的時候,函數就有一個唯一確定的值,那麼這個函數解就叫做單值解析函數,多項式就是這樣的函數。
複變函數也研究多值函數,黎曼曲面理論是研究多值函數的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面,可以使多值函數的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和説明。對於某一個多值函數,如果能作出它的黎曼曲面,那麼,函數在黎曼曲面上就變成單值函數。黎曼曲面理論是複變函數域和幾何間的一座橋樑,能夠使我們把比較深奧的函數的解析性質和幾何聯繫起來。現時,關於黎曼曲面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響,逐漸地趨向於討論它的拓撲性質。
複變函數論中用幾何方法來説明、解決問題的內容,一般叫做幾何函數論,複變函數可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何説明。導數處處不是零的解析函數所實現的映像就都是共形映象,共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場 、電路理論等方面都得到了廣泛的應用。留數理論是複變函數論中一個重要的理論。留數也叫做殘數,它的定義比較複雜。應用留數理論對於複變函數積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數定積分,可以化為複變函數沿閉迴路曲線的積分後,再用留數基本定理化為被積分函數在閉合迴路曲線內部孤立奇點上求留數的計算,當奇點是極點的時候,計算更加簡潔。
把單值解析函數的一些條件適當地改變和補充,以滿足實際研究工作的需要,這種經過改變的解析函數叫做廣義解析函數。廣義解析函數所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數的一些基本性質,只要稍加改變後,同樣適用於廣義解析函數。廣義解析函數的應用範圍很廣泛,不但應用在流體力學的研究方面,而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。因此,這些年來這方面的理論發展十分迅速。
從柯西算起,複變函數論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展,並且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中,它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。複變函數論中仍然有不少尚待研究的課題,所以它將繼續向前發展,並將取得更多應用。
參考資料
  • 1.    鍾玉泉.複變函數論.北京:高等教育出版社,2013年:47-55
  • 2.    路見可. 解析函數邊值問題[M]. 上海科學技術出版社, 1987.
  • 3.    鄭建華.複變函數:清華大學出版社,2005