鏈式法則

鏈式法則是求複合函數的導數（偏導數）的法則。

若 I，J 是直線上的開區間，函數 f(x) 在 I 上有定義

處可微，函數 g(y) 在 J 上有定義

，在 f(a) 處可微，則複合函數

在 a 處可微 (

在 I 上有定義)，且

. 若記

，而 f 在 I 上可微，g 在 J 上可微，則在 I 上任意點 x 有

即

，或寫成

這個結論可推廣到任意有限個函數複合的情形，於是複合函數的導數將是構成複合這有限個函數在相應點的導數的乘積，就像鎖鏈一樣一環套一環，故稱鏈式法則。

鏈式法則是隱函數、反函數以及參數方程式函數求導法的基礎，對於微積分後續內容的學習有着至關重要的作用。另一方面，鏈式法則的關鍵在於如何選取中間變量，複合函數特別是多元複合函數中間變量及自變量的複雜性。 ^[2]  鏈式法則是複合函數求導的基本規則，給複合函數的求導計算帶來便利。 ^[3] 

若多元函數 u=g(y₁,y₂,...,y_m) 在點 𝒃=(b₁,b₂,...,b_m) 處可微，b_i=f_i(a₁,a₂,...,a_n)(i=1,2,...,m)，每個函數 f_i(x₁,x₂,...,x_n) 在點 (a₁,a₂,...,a_n) 處都可微，則函數 u=g(f₁(x₁,x₂,...,x_n),f₂(x₁,x₂,...,x_n),...,f_m(x₁,x₂,...,x_n)) 也在(a₁,a₂,...,a_n) 處可微，且

這就是多元函數的鏈式法則，若同時考察一組（p 個）複合函數 u₁,u₂,...,u_p，其中 u_k=g_k(f₁(x₁,x₂,...,x_n),f₂(x₁,x₂,...,x_n),...,f_m(x₁,x₂,...,x_n))(k=1,2,...,p)，將它們的偏導數寫成矩陣（雅可比矩陣），則可以看到鏈式法則在形式上更有規律性，這時

若對於上面考察的這些函數，令

，於是，

是 p 維向量值函數（定義與 𝑹^m 的子集上），

是 m 維向量值函數（定義於𝑹ⁿ 的子集上），按照定義，它們的導數是相應的雅可比矩陣，寫成向量形式即

（等式右端為兩矩陣

與

的矩陣乘積），其中

. 這就是向量值函數的鏈式法則，它在形式上與一元函數的鏈式法則完全相同。 ^[1] 

求導

鏈式求導：令

則

即可求得。

在實際應用中，可將

看作是分數的約分過程，這種用法在求不定積分中會更廣泛地使用。