積分公式

設

是函數f（x）的一個原函數，我們把函數f（x）的所有原函數F（x）+C（C為任意常數）叫做函數f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函數，x叫做積分變量，f（x）dx叫做被積式，C叫做積分常數，求已知函數不定積分的過程叫做對這個函數進行積分。 ^[1] 

注：∫f（x）dx+c1=∫f（x）dx+c2,不能推出c1=c2

積分是微積分學與數學分析裏的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。 ^[2]  直觀地説，對於一個給定的實函數f（x），在區間[a，b]上的定積分記為：

若f（x）在[a,b]上恆為正，可以將定積分理解為在Oxy座標平面上，由曲線（x，f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的面積值（一種確定的實數值）。

積分的種類還有如下幾類： ^[3] 

不定積分的積分公式主要有如下幾類：含ax+b的積分、含√（a+bx）的積分、含有x^2±α^2的積分、含有ax^2+b（a>0）的積分、含有√（a²+x^2）（a>0）的積分、含有√（a^2-x^2）（a>0）的積分、含有√（|a|x^2+bx+c）（a≠0）的積分、含有三角函數的積分、含有反三角函數的積分、含有指數函數的積分、含有對數函數的積分、含有雙曲函數的積分。 ^[2] 

含有a+bx的積分公式主要有以下幾類： ^[4] 

含有√（a+bx）的積分公式主要包含有以下幾類： ^[5] 

被積函數中含有√（a^2+x^2）（a>0）的積分有 ^[2]  ：

被積函數中含有√（a^2-x^2）（a>0）的積分有： ^[4] 

對於a²>x²有：

含有√（|a|x^2+bx+c）（a≠0）的積分

被積函數中含有√（|a|x^2+bx+c）（a≠0）的積分有 ^{[2]  [4]  [5]} 

被積函數中含有三角函數的積分公式有： ^[5] 

被積函數當中含有反三角函數的積分公式有 ^[2]  ：

被積函數當中包含有指數函數的積分公式 ^[4]  ：

被積函數當中包含有對數函數的積分公式 ^[5]  ：

被積函數當中包含有雙曲函數的積分公式有 ^[2]  ：

定積分公式有以下幾種 ^{[1]  [4]} 

積分是線性的。如果一個函數f可積，那麼它乘以一個常數後仍然可積。如果函數f和g可積，那麼它們的和與差也可積。

如果一個函數f在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。如果f勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零，那麼它的勒貝格積分也大於等於零。作為推論，如果兩個

上的可積函數f和g相比，f（幾乎）總是小於等於g，那麼f的（勒貝格）積分也小於等於g的（勒貝格）積分。 ^{[6]  [3]} 

如果黎曼可積的非負函數f在

上的積分等於0，那麼除了有限個點以外，f=0。如果勒貝格可積的非負函數f在

上的積分等於0，那麼f幾乎處處為0。如果

中元素A的測度μ（A）等於0，那麼任何可積函數在A上的積分等於0。 ^{[6]  [3]} 

函數的積分表示了函數在某個區域上的整體性質，改變函數某點的取值不會改變它的積分值。對於黎曼可積的函數，改變有限個點的取值，其積分不變。對於勒貝格可積的函數，某個測度為0的集合上的函數值改變，不會影響它的積分值。如果兩個函數幾乎處處相同，那麼它們的積分相同。如果對

中任意元素A，可積函數f在A上的積分總等於（大於等於）可積函數g在A上的積分，那麼f幾乎處處等於（大於等於）g。 ^[3] 

用户可以在Microsoft Word中創建積分公式，以Word2010軟件為例介紹操作方法：

第1步，打開Word2010文檔窗口，切換到“插入”功能區。在“符號”分組中單擊“公式”按鈕（非“公式”下拉三角按鈕）。

第2步，在Word2010文檔中創建一個空白公式框架，在“公式工具/設計”功能區中，單擊“結構”分組中的“積分”按鈕。在打開的積分結構列表中選擇合適的積分形式。

第3步，在空白公式框架中將插入積分結構，單擊積分結構佔位符框並輸入具體數值或公式符號即可。