分類空間

分類空間是在纖維叢理論中起關鍵作用的一類空間。分類空間是針對於拓撲羣而言。

設ξ為B上n階向量叢，γ_n,k為格拉斯曼流形G_n,k上的n階萬有叢，當l足夠大時，存在映射f:B→G_n,l，滿足ξ≅f*γ_n,l。G_n,l稱為分類空間，f稱為分類映射。 ^[4] 

設G是一個拓撲羣，且設

為G的萬有叢（universal bundle），即它是以G為結構羣的主G叢，其中全空間EG是一個典型的可縮空間且G在其上的作用是自由的，且底空間BG恰為G在EG上作用的軌道空間。

若該萬有叢具有分類性質，即對任何一個CW復形X 即其上的一個主G叢ξ ，存在一個連續映射

，稱為示性映射，使得X上的主G叢ξ恰為叢

的誘導叢

，則稱BG為G的分類空間。BG在同倫等價下是唯一的。

設G是一個拓撲羣。

設E_n(G)=Gⁿ⁺¹，B_n(G)=Gⁿ，p_n:Gⁿ⁺¹→Gⁿ為到前n個座標的投射。則p_*是單純空間的映射。若讓G以右乘作用在E_n(G)的最後一個座標，則E_*(G)為單純G空間。而B_n(G)可看成是軌道空間E_n(G)/G。定義

E(G)=|E_*(G)|，B(G)=|B_*(G)|，p=|p_*(G)|:E(G)→B(G)

則B(G)稱為G的分類空間。 ^[2] 

若G為拓撲阿貝爾羣，則E(G)與B(G)亦為拓撲阿貝爾羣。

由於EG可縮，則纖維化的長正合列表明，當q≥0時，π_q+1(BG)≅π_q(G)。

^[2] 

若G為連通李羣，K為其極大緊子羣，則

。 ^[3] 

任意拓撲羣G的分類空間總是存在的。

分類空間BG是一個道路連通的拓撲空間，其基本羣同構於G，而高維的同倫羣都是平凡羣。分類空間的確切含義由分類定理得到體現。

若E為可縮空間，則(B,E)為G的分類空間。 ^[3] 

分類定理：設G是一個拓撲羣，且 X 是一個 CW 復形，則以X為底空間的主G叢的等價類全體的集合Prin_G(X)與從 X 到 BG 的連續映射的所有同倫類的集合

一一對應，即 ^[1] 

當X為Sⁿ時，則 ^[3]