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軌道空間
鎖定
軌道空間(orbit space)是一類特殊的商空間,若G是拓撲羣,X是拓撲空間,G中每一元素g誘導一個從X到自身的同胚映射,x↦g(x),其中x∈X,對於任意g,h∈G,滿足h°g(x)=h[g(x)],對於羣G中單位元e滿足e(x)=x,並且由(g,x)↦g(x)定義的G×X到X的映射是連續映射,則稱G為X的拓撲變換羣。對於X中的點x,稱子集O(x)={g(x)|g∈G}為通過點x的軌道,所有軌道的集合{O(x)|x∈X}構成X的一個分解(實際上,X中兩點x,y屬於同一軌道這一關係是一等價關係)。由這個分解得出的商空間記為X/G,稱為軌道空間。例如,取拓撲羣Z為具有離散拓撲的整數加羣,R1為實數空間,對於每一個n∈Z取從R1到自身的同胚為平移,x↦x+n,這時得到的軌道空間R1/Z是圓周S1。
- 中文名
- 軌道空間
- 外文名
- orbit space
- 所屬學科
- 羣論
- 屬 性
- 一類特殊的商空間
- 相關概念
- 商空間,軌道,拓撲羣等
軌道空間定義
若G如同一個同胚羣而作用於拓撲空間X,則對於每個
,集合
稱為x的軌道,記為
。
軌道空間性質
軌道空間拓撲羣
定義3 設G是一個拓撲羣,稱G如同一個同胚羣而作用於拓撲空間X,是指G的每個元素g都誘導一個同胚
,並且滿足下列條件:
(1)
;
(3) 映射
連續。
軌道空間舉例分析
例1 (1)考慮無限循環羣
在
上的如下作用:
(2) 設n≥2,考慮正交羣
,在線性代數中我們已經知道,每個
都確定了
中的一個線性變換
,這個線性變換保持歐氏度量。特別地,把單位向量映射為單位向量。因此每個
誘導了
的一個自同胚。並且容易看出,映射
(3) 考慮羣
在平面
上的作用:
,定義一個同胚
(4)考慮剩餘類羣
在n-維球面
上的作用:不妨記
,其中0為單位元,而1為生成元。定義兩個同胚;
(5) 設p,q是兩個互質的整數,把3-維球面
看做2-維復空間內的單位球面,即
則不難驗證,這確實給出了一個羣作用,其軌道空問稱為透鏡空間,記為
。
定理 如G一個同胚羣而作用於單連通空間X,並且對於每個點
,都存在
使得
,則
。
利用這個定理,我們也可以得到下面幾個結論