穩定子羣

設X為G空間，x∈X。則G_x:={g∈G|gx=x}，稱G_x為點x的穩定子羣。 ^[4] 

G_x為G的閉子羣。 ^[5] 

若集合

，在

上的二元運算（該運算稱為羣的乘法，其結果稱為積）

構成的代數結構

，，滿足： ^[3] 

1. 封閉性：即G的任意兩個元素在

下的運算結果都是該集合的一個元素。（

，

）。

2.結合律：

，

；

3.單位元：

中存在元素

，使G中任一元素

與之相乘（包括左乘和右乘）的結果都等於

本身。（

，使

，有

）；

4. 逆元：

，

，使得

，

稱為

的逆元，記為

。（逆元具有唯一性，即：由

可以推出

）

則

稱為一個羣，或乘法羣。

有時由於上下文的原因，羣上的二元運算亦可稱為加法，此時該運算通常記為

，羣元素的運算也被記為如同

的形式，而羣也可被稱為加法羣。此種情況下，往往加法還有可交換的性質。

定義

為集合

上所有雙射的集合，並定義合成映射

，這裏

是

的任意元素。

構成一個羣，這個羣被稱為置換羣，記為

或

。

例集合

的三個元素置換羣組成

.

定義

為所有n階實可逆方陣的集合，乘法

為矩陣乘法，則

構成一個羣。

這個羣稱為一般線性羣，記為

。

例1

在普通乘法下是羣。

證：1)封閉性：1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1

2)結合律：成立

3)單位元：1

4)逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1

例2

在mod n的加法下是羣.

證：1)封閉性：除以n的餘數只能是

，故封閉性成立

2)結合律：成立

3)單位元：0

4)逆元素：對任意元素a有

，a的逆元

子羣是羣的特殊的非空子集。羣G的非空子集H，若對G的乘法也成為羣，則稱H為G的子羣，記為H≤G。若子羣H≠G，則稱H為G的真子羣，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元羣G至少有兩個子羣，G自身以及由單位元e作成的單位元羣{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子羣。不是平凡子羣的子羣稱為非平凡子羣。羣G的非空子集H為G的子羣的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H_i|i∈I}是G的子羣的集合，I是一個指標集，則所有H_i的交H_i是G的一個子羣。 ^[2] 

穩定子羣置換羣內的一種特殊子羣。置換羣G中把某點α保持不動的全體元素組成的子羣。它記為G_α，稱為α在G內的穩定子羣。若β是G中另外一個點，而G中有元素g使α=β，則

。所以同一軌道內的各點有相互共軛的穩定子羣。若Δ={α₁，α₂，…，α_r}為G的軌道，取x_i∈G (i=1，2，…，r)，使α₁=α_i，則陪集G_α1x_i就是G中把α₁變成α_i的全部元素所成的子集。於是，Δ中的元素和G_α1在G內的各陪集之間可以建立一一對應。因此Δ的長度r就是G_α1在G內的指數。

穩定子羣的概念還可以推廣。設Δ是Ω的一個子集合，可自然地得到兩個子羣。第一個子羣由G中那些把Δ中每個元素都不變的元素組成，這個子羣稱為子集Δ的點不變穩定子羣。第二個子羣由G中那些把Δ作為整體還變成Δ的元素組成，這個子羣稱為Δ的集不變穩定子羣，分別記為G_Δ和G_{Δ}。還有其他形式的穩定子羣，給定一個置換羣后，就可以自然地得到一系列子羣。通過這些子羣的研究常常使人們可以瞭解所給置換羣的構造，這是研究置換羣的一個方便之處。