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矩陣乘法
鎖定
矩陣乘法定義
如下所示：
矩陣乘法注意事項
1、當矩陣A的列數（column）等於矩陣B的行數（row）時，A與B可以相乘。
2、矩陣C的行數等於矩陣A的行數，C的列數等於B的列數。
3、乘積C的第m行第n列的元素等於矩陣A的第m行的元素與矩陣B的第n列對應元素乘積之和。
矩陣乘法基本性質
- 對數乘的結合性k(AB）=(kA)B=A(kB）．
- 轉置 (AB)T=BTAT．
- 矩陣乘法在以下兩種情況下滿足交換律。
- AA*=A*A，A和伴隨矩陣相乘滿足交換律。
矩陣乘法其他的乘積形式
除了上述的矩陣乘法以外，還有其他一些特殊的“乘積”形式被定義在矩陣上，值得注意的是，當提及“矩陣相乘”或者“矩陣乘法”的時候，並不是指代這些特殊的乘積形式，而是定義中所描述的矩陣乘法。在描述這些特殊乘積時，使用這些運算的專用名稱和符號來避免表述歧義。
哈達馬積（Hadamard product）
克羅內克積（Kronecker Product）
矩陣乘法實現
C++代碼
struct Matrix:vector<vector<int> >//使用標準容器vector做基類，需#include語句
{
Matrix(int x=0,int y=0,int z=0)//初始化，默認為0行0列空矩陣
{
assign(x,vector<int>(y,z));
}
int h_size()const//常量説明不可省，否則編譯無法通過
{
return size();
}
int l_size()const
{
return empty()?0:front().size();//列數要考慮空矩陣的情況
}
Matrix pow(int k);//矩陣的k次冪，用快速冪實現，k為0時返回此矩陣的單位矩陣
};
Matrix operator*(const Matrix &m,const Matrix &n)//常量引用避免拷貝
{
if(m.l_size()!=n.h_size())return Matrix();//非法運算返回空矩陣
Matrix ans(m.h_size(),n.l_size());
for(int i=0; i!=ans.h_size(); ++i)
for(int j=0; j!=ans.l_size(); ++j)
for(int k=0; k!=m.l_size(); ++k)
ans[i][j]+=m[i][k]*n[k][j];
return ans;
}
Matrix Matrix::pow(int k)
{
if(k==0)
{
Matrix ans(h_size(),h_size());
for(int i=0; i!=ans.h_size(); ++i)
ans[i][i]=1;
return ans;
}
if(k==2)return (*this)*(*this);
if(k%2)return pow(k-1)*(*this);
return pow(k/2).pow(2);
}
矩陣乘法實際應用
矩陣乘法數據統計
某公司有四個工廠，分佈在不同地區，同時三種產品，產量（單位；t），試用矩陣統計這些數據。
工廠\產品 | P1 | P2 | P3 |
|---|---|---|---|
甲 | 5 | 2 | 4 |
乙 | 3 | 8 | 2 |
丙 | 6 | 0 | 4 |
丁 | 0 | 1 | 6 |
可用下述矩陣描述
，其中四行分別表示甲乙丙丁四個工廠的生產情況，三列分佈表示三種產品P1，P2，P3的產量。
再設矩陣
，其中第一列表示三種產品的單件利潤，第二列表示三種產品的單件體積。
矩陣C的第一列數據分別表示四個工廠的利潤，第二列分別表示四個工廠產品需要的存儲空間。
矩陣乘法路徑問題
給定一個有向圖，問從A點恰好走k步（允許重複經過邊）到達B點的方案數。
把給定的圖轉為鄰接矩陣，即A(i,j)=1當且僅當存在一條邊i->j。令C=A*A，那麼C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，實際上就等於從點i到點j恰好經過2條邊的路徑數（枚舉k為中轉點）。類似地，C*A的第i行第j列就表示從i到j經過3條邊的路徑數。同理，如果要求經過k步的路徑數，我們只需要二分求出A^k即可。
