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張量積

鎖定
在數學中,張量積(tensor product) ,可以應用於不同的上下文中如向量、矩陣、張量、向量空間、代數拓撲向量空間和模。在各種情況下這個符號的意義是同樣的:最一般的雙線性運算。在某些上下文中也叫做外積 [1] 
中文名
張量積
外文名
tensor product
運用範圍
數學
向量空間範疇
對象之間的同態都是線性映射
應用學科
數學
符號意義
最一般的線性運算

張量積多種張量積

(1)兩個張量的張量積 [2] 
有兩個(或更多)張量積的分量的一般公式。例如,如果UV是秩分別為nm的兩個協變張量,則它們的張量積的分量給出為:
所以兩個張量的張量積的分量是每個張量的分量的普通
注意在張量積中,因子U消耗第一個 rank(U) 指標,而因子V消耗下一個 rank(V) 指標,所以
例子:
U是類型 (1,1) 的張量,帶有分量Uβ;並設V是類型 (1,0) 的張量,帶有分量V。則
張量積繼承它的因子的所有指標。
(2)多重線性映射的張量積
給定多重線性映射和
它們的張量積是多重線性函數
(3)向量空間的張量積
在域K上的兩個向量空間VW的張量積
有通過“生成元和關係”的方法的形式定義。在這些
的關係下的等價類被叫做“張量”並指示為
。通過構造,可以證明在張量之間的多個恆等式並形成張量的代數。
要構造
,採用在 K之上帶有基
的向量空間,並應用(因子化所生成的子空間)下列多線性關係:
(1)
(2)
(3)
這裏的
是來自適當空間的向量,而c來自底層域K。
我們可以推出恆等式
,零在
中。
結果的張量積
自身是向量空間,它可以直接通過向量空間公理來驗證。分別給定VW
,形如
的張量形成
的基。張量積的維數因此是最初空間維數的積;例如
有維數mn。
(4)希爾伯特空間的張量積
兩個希爾伯特空間的張量積是另一個希爾伯特空間,其定義如下。
定義
是兩個希爾伯特空間,分別帶有內積
。構造H1H2的張量積
如下:
考慮他們的作為線性空間的張量積
上的內積自然地擴展到H上:
由內積的雙線性(Bilinearity),只需定義
其中
即可。
H是一未必完備的內積空間。將H完備化,得到希爾伯特空間
,這就是H1H2作為希爾伯特空間的張量積。在希爾伯特空間的範疇中,
具有如前所述的泛性質,即它是二者在該範疇內的乘積。
性質
如果H1H2分別有正交基{φk} 和 {ψl},則 {φk⊗ψl} 是H1H2的正交基。
(5)兩個向量空間的張量積
在向量空間範疇,對象之間的同態都是線性映射。但其實我們經常會碰到 “雙線性映射” 這種概念,比如內積就是一個雙線性映射 V x V --> C. 我們希望把 “雙線性” 這種性質歸於向量空間範疇。一個辦法就是,構造一個跟 V, W 有關的向量空間 Z,使得所有定義在 V x W 上的 “雙線性映射” 都可以由 “唯一” 一個定義在 Z 上的 “線性映射” 來代替。這個 Z 就叫 V 和 W 的張量積。

張量積泛性質

張量積可以用泛性質來刻畫。考慮通過雙線性映射φ把笛卡爾積V×W嵌入到向量空間X的問題。張量積構造VW與給出自
的自然嵌入映射φ:V×WVW一起是這個問題在如下意義上的“泛”解。對於任何其他這種對 (X,ψ),這裏的X是向量空間,而 ψ 是雙線性映射V×WX,則存在一個唯一的線性映射
使得
[3] 
假定這個泛性質,張量積在同構意義下的惟一性是容易驗證的。
直接推論是從V×WX的雙線性映射
和線性映射
的同一性。它是ψT的自然同構映射。

張量積擴展

與對偶空間的關係 [3] 
在泛性質的討論中,替代XVW的底層標量域生成空間
對偶空間,包含在那個空間上的所有線性泛函),它自然的同一於在
上所有雙線性函數的空間。換句或説,所有雙線性泛函是在張量積上的泛函,反之亦然。
只要V和W是有限維的,在
之間有一個自然的同構,而對於任意維的向量空間我們只有一個包含
。所以線性泛函的張量是雙線性泛函。這給我們一種新看法,把雙線性泛函看做張量積自身。

張量積應用發展

後來的發展表明,“張量積” 可以擴展到一般範疇。凡是在範疇中多個對象得到一個對象,並滿足一定結合規則和交換規則的操作都可以視為 “張量積”,比如集合的笛卡兒積,無交併,拓撲空間的乘積,等等,都可以被稱為張量積。帶有張量積操作的範疇叫做 “張量範疇”。張量範疇被視為量子不變量理論的形式化,從而應該同量子場論,弦論都有深刻的聯繫。

張量積示例

結果的秩為1,結果的維數為 4×3 = 12。
這裏的秩指示張量秩(所需指標數),而維數計算在結果數組(陣列)中自由度的數目;矩陣的秩是 1。
代表情況是任何兩個被當作矩陣的矩形數組的克羅內克積。在同維數的兩個向量之間的張量積的特殊情況是並矢積。
參考資料
  • 1.    張遠達. 線性代數原理[M]. 上海教育出版社, 1980.
  • 2.    方保, 周繼東, 李醫民. 矩陣論[M]. 清華大學出版社, 2013.
  • 3.    周金森. 關於代數張量積的性質研究[J]. 龍巖學院學報, 2007, 25(6):3-5.