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克羅內克積
鎖定
數學上,克羅內克積是兩個任意大小的矩陣間的運算。克羅內克積是張量積的特殊形式,以德國數學家利奧波德·克羅內克命名。
克羅內克積定義
克羅內克積例子
克羅內克積特性
克羅內克積雙線性結合律
其中,A,B和C是矩陣,而k是常量。
克羅內克積混合乘積性質
如果A、B、C和D是四個矩陣,且矩陣乘積AC和BD存在,那麼:
克羅內克積克羅內克和
如果A是n×n矩陣,B是m×m矩陣,
表示k×k單位矩陣,那麼我們可以定義克羅內克和
為:
克羅內克積與抽象張量積
矩陣的克羅內克積對應於線性映射的抽象張量積。特別地,如果向量空間V、W、X和Y分別具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye},且矩陣A和B分別在恰當的基中表示線性變換S:V→X和T:W→Y,那麼矩陣A⊗B表示兩個映射的張量積S⊗T:V⊗W→X⊗Y,關於V⊗W的基{v1⊗ w1, v1⊗ w2, ... , v2⊗ w1, ... , vm⊗ wn}和X⊗Y的類似基。
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克羅內克積與圖的乘積
克羅內克積轉置
克羅內克積轉置運算符合分配律:
克羅內克積矩陣方程
克羅內克積可以用來為一些矩陣方程得出方便的表示法。例如,考慮方程AXB=C,其中A、B和C是給定的矩陣,X是未知的矩陣。我們可以把這個方程重寫為
這樣,從克羅內克積的性質可以推出,方程AXB=C具有唯一的解,當且僅當A和B是非奇異矩陣。(Horn & Johnson 1991,Lemma 4.3.1).
如果把X的行堆起來,形成列向量x,則AXB也可以寫為
(Jain 1989,2.8 block Matrices and Kronecker Products)。
克羅內克積歷史
儘管沒有明顯證據證明利奧波德·克羅內克是第一個定義並使用這一運算的人,克羅內克積還是以其名字命名。確實,在歷史上,克羅內克積曾以Johann Georg Zehfuss名字命名為Zehfuss矩陣。
- 參考資料
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- 1. Van Loan C F. The ubiquitous Kronecker product[J]. Journal of computational and applied mathematics, 2000, 123(1): 85-100.
- 2. Pages 401–402 of Dummit, David S.; Foote, Richard M., Abstract Algebra 2, New York: John Wiley and Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-36857-1
- 3. D. E. Knuth: "Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms", zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Vol. 4A