恆等映射

定義1 恆等映射亦稱恆等函數，是一種重要的映射，對任何元素，象與原象相同的映射。對於映射

，若它的定義域A和值域B相等，並對所有的

均有

時，則稱

為恆等映射，常記為

或

等。

定義2 設E為集合，從E到其自身中使任一元素

與自己相對應的映射叫做E的恆等映射，記為

，E的恆等映射的圖形是

的對角線 ^[1]  。

映射(變換)是數學中一個很重要的基本概念，從廣義上講，可以認為數學中的任何—種運算都屬於一種映射。在數學的不同分支裏，就是研究某個特定領域中的特定映射，或者從不同的方面去研究映射的不同性質。如傅里葉變換、拉普拉斯變換(時間域到頻率域)，實變函數(實數集到實數集)，複變函數(複數集到複數集，複平面到複平面)，導函數(可導函數集到函數集)，定積分(可積函數集到實數集)，線性變換(如n維向量空間到n維向量空間)，梯度(標量場到矢量場)，散度(矢量場到標量場)和旋度(矢量場到矢量場)等等都是映射，但不一定都是一一映射．

在施行映射(變換)

之後，若兩個集合的某些性質相同，則稱這些性質在該變換下是不變的。在變換下保持不變的量稱為不變量。例如，在笛卡爾直角座標系中，旋轉變換

所確定的映射

，其距離就是不變量，因為

；在電磁場作洛倫茲變換時，有

和

，因此，

和

為電磁場在洛倫茲變換下的不變量。在電路和電機分析中，作線性變換(折算)時，常常要求保持複數功率為不變量，在不同的場合，保持某些不變量，是合理進行某種變換必須遵循的條件，也往往是進行某種變換之後檢驗結果是否正確的依據。

引用集合之間映射的概念，必須與集的代數運算或所謂結合法發生聯繫，才能成為有力的工具，對於集合A中的任意兩個元素

，若按照一定法則(常寫成乘法

)，可以與某集合

中唯一確定的元素對應，則稱這個法則是集A的一個代數運算，或稱是A的一種結合法，若一個集具有適合某些法則的結合法(或代數運算)，就稱其為代數系。如果

的結合仍然是A中的元，則稱A的這種結合法是閉合的(或稱其是A的一種封閉的結合法)。譬如整數集Z是代數系，它的加法和乘法是兩種閉合的結合法，近世代數就是一門研究某些基本代數系(羣、環、域)關於結合法性質的理論學科 ^[2]  。

恆等映射有下列性質：

1.對映射

，

；

2.對映射

，若存在映射

，使得

則f是一一對應，且

。

3.對任何集A，都存在惟一的恆等映射

；

4.恆等映射

是雙射，且

。

恆等變換(identical transformation)又稱單位變換，指把集合S中的每個元素都變為其本身的變換，稱為S的恆等變換。例如，在平面上，把點

變為其本身的點變換是恆等變換。用式子來表示，可以寫成

。有限維向量空間上的恆等線性變換可以用單位矩陣來表示。恆等變換是變換羣的單位元 ^[3]  。