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標量場
鎖定
標量場是指一個僅用其大小就可以完整表徵的場。一個標量場u 可以用一個標量函數u(x,y,z)來表示。標量場分為實標量場和復標量場，其中實標量場是最簡單的場，它只有一個實標量，而復標量是一個複數的場，它有兩個獨立的場量，這相當於場量有兩個分量。最常用的標量場有温度場，電勢場，密度場，濃度場等等。在標量場中，需要注意的是等值面、方向導數、梯度這幾個量。
- 中文名
- 標量場
- 外文名
- Scalar Field
- 別 名
- 數量場
- 類 型
- 分佈狀態
- 定義域
- （-∞，+∞）
- 分 類
- 實標量場、復標量場
- 定 義
- 一個僅用其大小就可以完整表徵的場
標量場定義
當研究物理系統中温度、壓力、密度等在一定空間內的分佈狀態時，數學上只需用一個代數量來描繪，這些代數量（即標量函數）所定出的場就稱為數量場，也稱標量場。
[1]
最常用的標量場有温度場，電勢場，密度場，濃度場等等
[2]
。
標量場標量場的等值面
標量場定義
令
，其中
是任意常數，則該式在幾何上表示一個曲面，在這個曲面上的各點，雖然座標
不同，但函數值相等，稱此曲面為標量場
的等值面。隨着
的取值不同，得到一系列不同的等值面。同理，對於由二維函數
所給定的平面標量場，可按
得到一系列不同值的等值線。
標量場作用
標量場的等值面或等值線，可以直觀地幫助我們瞭解標量場在空間中的分佈情況。例如，根據地形圖上等高線及其所標出的高度，我們就能瞭解到該地區的高低情況，根據等高線分佈的疏密程度可以判斷該地區各個方向上地勢的陡度。
[3]
標量場標量場的方向導數
標量場定義
標量場方向導數的計算
在上式中，當
時，有
。
將上式兩邊同除以
並取極限得到
方向導數的計算公式：
標量場標量場的梯度
標量場定義
方向導數為我們解決了函數
在給定點處沿着某個方向的變化率問題。然而從場中的給定點
出發，標量場
在不同方向上的變化率一般來説是不同的，那麼，可以設想，必定在某個方向上變化率為最大。為此，我們定義一個矢量
，其方向就是函數
在點
處變化率為最大的方向，其大小就是這個最大變化率的值，這個矢量
稱為函數
在點
處的梯度，記為：
算子
與標量函數
相乘為一矢量函數。在直角座標系中，梯度又可以表示為：
標量函數
在圓柱座標系中的梯度和拉普拉斯表達式分別為：
標量函數
在球座標系中的梯度和拉普拉斯表達式分別為：
標量場性質
（3）
，這個式子表明：如果有一個矢量場
滿足
，即
是一個無旋場，則矢量場
可以用一個標量函數
的梯度表示，即
，該標量函數稱為勢函數，對應的矢量場稱為有勢場。如靜電場中的電場強度就可以用一個標量函數的梯度來表示。
[3]
