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拉普拉斯算子
鎖定
- 中文名
- 拉普拉斯算子
- 外文名
- Laplace Operator
- 概 述
- n維歐幾里德空間的二階微分算子
- 表示式
- 二維空間 N 維空間
- 適用範圍
- 數理科學
- 推 廣
- 可能是橢圓型算子,雙曲型算子
拉普拉斯算子定義
作為一個二階微分算子,拉普拉斯算子把C函數映射到C函數,對於k≥2時成立。算子Δ :C(R) →C(R),或更一般地,定義了一個算子Δ :C(Ω) →C(Ω),對於任何開集Ω時成立。
另外,滿足▽·▽f=0 的函數f, 稱為調和函數。
拉普拉斯算子表示式
拉普拉斯算子二維空間
其中x與y代表 x-y 平面上的笛卡爾座標:
另外極座標的表示法為:
拉普拉斯算子三維空間
笛卡爾座標系下的表示法
圓柱座標系下的表示法
球座標系下的表示法
拉普拉斯算子N 維空間
在參數方程為(其中以及)的N維球座標系中,拉普拉斯算子為:
其中是N− 1維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。
拉普拉斯算子橢圓型偏微分方程
[elliptic partial differential equation]
橢圓型偏微分方程是偏微分方程的一個類型,簡稱橢圓型方程。這類方程主要用來描述物理中的平衡穩定狀態,如定常狀態的電磁場、引力場和反應擴散現象等。
橢圓型方程是由方程中主部的係數來界定的。對兩個自變量的二階線性或半線性方程
對於高階線性方程,設
階線性偏微分算子為
線型橢圓型方程的典型代表是拉普拉斯方程(也叫調和方程)
對於非線性方程,也可以定義橢圓型方程。例如,考慮二階實係數擬線性方程
拉普拉斯算子推廣
拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里德空間,這時它就有可能是橢圓型算子,雙曲型算子,或超雙曲型算子。
在閔可夫斯基空間中,拉普拉斯算子變為達朗貝爾算子。