散度

散度是描述空氣從周圍匯合到某一處或從某一處流散開來程度的量。水平散度是氣體在單位時間內水平面積的變化率。如果面積增大，散度取正值，為水平輻散；如果面積縮小，散度取負值，為水平輻合。三維空間的散度表示任意氣塊在單位時間內其單位體積的變化率。氣塊的體積膨脹稱為輻散，氣塊體積收縮稱為輻合 ^[1]  。

在大氣科學中散度指衡量速度場輻散、輻合強度的物理量。單位為/秒。表示單位時間內體積的膨脹率。在不可壓縮流體中散度為0，所以水平方向有輻散或輻合，垂直方向就會發生補償性的收縮和延伸，而出現垂直運動。因此，可以通過水平散度計算大氣中的垂直速度 ^[2]  。

對於一個矢量場

而言，散度有兩種不同的定義方式。

第一種定義方式和座標系無關： ^[3] 

第二種定義方式則是在直角座標系下進行的： ^[4] 

設向量場

的表示為

其中的

分別是X軸、Y軸、Z軸方向上的單位向量，場的分量

具有一階連續偏導數，那麼向量場

的散度就是：

可以證明，在極限存在的情況下，兩種定義是等價的。因此也常直接用

代表

的散度。

由散度的定義可知，

表示在某點處的單位體積內散發出來的矢量

的通量，所以

描述了通量源的密度。舉例來説，假設將太空中各個點的熱輻射強度向量看做一個向量場，那麼某個熱輻射源（比如太陽）周邊的熱輻射強度向量都指向外，説明太陽是不斷產生新的熱輻射的源頭，其散度大於零。

從定義中還可以看出，散度是向量場的一種強度性質，就如同密度、濃度、温度一樣，它對應的廣延性質是一個封閉區域表面的通量。

(a,b為常數) (線性運算)

(

為標量場)

(旋度場無源) ^[3] 

矢量V的散度在笛卡爾座標（直角座標系）下的表達式：

矢量V的散度在球座標下的表達式：

矢量V的散度在柱座標下的表達式：

既然向量場某一處的散度是向量場在該處附近通量的體密度，那麼對某一個體積內的散度進行積分，就應該得到這個體積內的總通量。可以證明這個推論是正確的，稱為高斯(Gauss)散度定理，或高斯公式。其用數學語言表示為： ^[3] 

高斯公式説明，如果在體積

內的向量場

擁有散度，那麼散度

的體積分等於向量場在

的表面

的面積分。

靜電場

的散度不為零、旋度為零，是有源無旋場。

靜磁場

的散度為零、旋度不為零，是有旋無源場。

散度可以表示流體運動時單位體積的改變率。簡單地説，流體在運動中集中的區域為輻合，運動中發散的區域為輻散。散度值為負時為輻合，此時有利於氣旋等對流天氣系統的的發展和增強，為正時表示輻散，有利於反氣旋等天氣系統的發展。

往往，氣象學中應用最多的是風速

的“水平散度”。

水平散度的表達式是：

其中u是x軸方向的風速大小，v是y軸方向的風速大小。

一般來説，x軸表示緯圈切線方向(自西向東為正)，y軸表示經圈切線方向(自南向北為正)。

散度等於零的矢量場稱為無源場或管形場。流體力學中，密度散度為零的流體稱為不可壓縮流體，也就是説每個微小時間間隔中流入一個微小體元的流體總量都等於在此時間間隔內流出此體元的流體總量。 ^[5] 

對於可壓縮的流體，有下述方程成立：

即密度的變化率等於動量的散度。