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閔可夫斯基空間
鎖定
- 中文名
- 閔可夫斯基空間
- 外文名
- Minkowski space
- 別 名
- 閔可夫斯基時空
- 領 域
- 數學、物理學
- 提出者
- 閔可夫斯基
- 提出時間
- 1909年
目錄
閔可夫斯基空間簡介
阿爾伯特·愛因斯坦在瑞士蘇黎世聯邦科技大學(德語:Eidgenössische Technische Hochschule,ETH;英語:Swiss Federal Institute of Technology)時期的數學老師赫爾曼·閔可夫斯基在愛因斯坦提出狹義相對論之後,於1907年將愛因斯坦與亨德里克·洛侖茲的理論結果重新表述成(3+1)維的時空,其中光速在各個慣性參考系皆為定值,這樣的時空即以其為名,稱為閔可夫斯基時空,或稱閔可夫斯基空間。
愛因斯坦一開始不認為這樣的表述有何重要性,但當他1907年開始轉往廣義相對論發展時,發現閔可夫斯基時空可説是其所要發展的理論架構的基礎,轉而對這樣的表述採取高的評價。
閔可夫斯基空間定義
閔可夫斯基空間推導
藉助矩陣的形式,我們可以把上式寫成:
這裏的變換矩陣
是一個正交矩陣,因此這樣的座標變換能保證任意兩點間距離不變。
從這裏只要一步就可以跨進狹義相對論。我們把時間
乘以一個因子
,這裏
是具有速度量綱的一個常數,那麼ict就有了長度的量綱(不過它的數值是虛的)。這個
就作為與三維空間的三個座標相併列的第四維度,並且規定在座標變換(實際上就是從一個慣性系變換到另一個慣性系)時,變換矩陣必須是正交的。比如,我們常見的洛侖茲變換:
如果把
、
、
依次記為
、
、
,又記
為
,寫成矩陣的形式就是:
上式中,
,
。這麼一來,“時空統一”看起來是不是清楚多了?
在這樣的正交變換之下,有一個叫做“四維間隔”的東西是守恆的。如果記間隔為
,那麼
與此同時,
就成了四維時空中一個非常獨特的速度。
假如:在某個慣性系S1看來,一個物體從A地勻速運動到B地,歷時
,穿越距離
;而在另一慣性系S2中,這一物體從A地到B地,歷時
,穿越距離
;那麼在這兩個慣性系中,“物體從A地到B地”所經歷的“四維間隔”的平方分別是:
和
倘若在S1系中此物體速度為
,那麼
=c,於是
。則經過時空座標的變換後必有
即
,也就是説這一物體在S2系中的速度也是
。換句話説,只要時間
以一個固定的常數
(不管這是不是光速!)與空間相聯繫,那麼以
為速度的物體在一切慣性系中的速度都是
。前提是
。
閔可夫斯基空間性質
可以證明閔可夫斯基空間的下列性質:
(1)任意兩個時間向量不可能相互正交;
(2)任意一個時間向量都不可能正交於一個光向量;
(3)兩個光向量正交的充分必要條件是它們線性相關。
閔可夫斯基空間閔可夫斯基空間的認識
閔可夫斯基世界是存在於一個虛構的四維時空中。所謂四維時空,和四維空間有區別。最明顯的區別是,四維時空中有一維是“類空間”,而四維空間的四個維都是空間。明確地講,四維空間中的四個維,可以視為具有相同性質的,而四維時空的類空間維,和其他三維不具有相同性質。所謂性質相同,其實包含很多方面,不很容易一下都總結出來,但是可以舉幾個常見例子:
(1)例如:在任何一維空間中度量空間長度的方法都是一樣的,這就是因為它們性質相同但我們很明顯地知道,在類空間中度量“類空間長度”的方法,是和在其他三維空間中度量長度的方法完全不同的。閔氏空間中的類空間維,準確來説就是 ict這一維,從取值來説,這一維上面的座標或長度的取值是 0 或者純虛數,而其他三維空間中的座標或長度取值一定都是實數。
(2)再比如:一個平面三角形在平直的四維空間中可以任意轉動,而且無論怎麼轉,都能保持它作為三角形的標誌性幾何性質,且這些性質不隨時間或者這個四維平直空間變化,但這個三角形在四維時空中的轉動,一定只能是三維的,類空間這一維是不允許這個三角形介入的,如果強制這個三角形介入類空間一維,那麼這個三角形就不是原來的三角形了,因為它的幾何性質中包含了隨時間改變的要素,這也會影響這個三角形在三維空間中的“剩餘部分”的幾何性質隨之變化。
因此,四維時空中的“長度”(準確説應該叫做“間隔”),並不是四維空間的長度概念,“間隔”這個概念本身就表明了物體的空間性質與時間性質的相關性,所以相對論中的物體運動的時間座標和空間座標是互相影響的,牛頓理論就沒有這個性質(牛頓理論的時間座標不受空間座標影響,只有空間座標受時間座標影響)。時空間隔不變性對應的是“相對性原理”。在牛頓理論的時空模型中,三維空間距離是參考系不變量,無論在哪個參考系下測量同一物體的長度得到的結果都是相同的,這是伽利略變換下的相對性原理的體現。相對論中,無論哪個參考系測量倆事件的四維時空間隔,也都得到相同的結果:四維時空間隔是不變量。
洛倫茲變換保證了“四維時空間隔”在參考系變換下擁有不變。洛倫茲變換是兩個參考系之間的變換關係。通常兩個參考系指的是運動速度不同的兩個參考系,但在四維時空的角度來看,這兩個參考系之間並不存在相對運動,而不過是兩者各座標軸都擁有一個相同的固定的偏轉角度,所以也稱洛倫茲變換是一種四維時空旋轉變換。這種旋轉並不是三維空間中的那種旋轉,而是嵌入到時間維中一種“四維旋轉”。表現在三維空間中就是有相對運動速度。四維時空間隔是一個標量,標量在座標變換中肯定是不變的。