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正交變換
鎖定
因為向量的模長與夾角都是用內積定義的，所以正交變換前後一對向量各自的模長和它們的夾角都不變。特別地，標準正交基經正交變換後仍為標準正交基。
在有限維空間中，正交變換在標準正交基下的矩陣表示為正交矩陣，其所有行和所有列也都各自構成V的一組標準正交基。因為正交矩陣的行列式只可能為+1或−1，故正交變換的行列式為+1或−1。行列式為+1和−1的正交變換分別稱為第一類的（對應旋轉變換）和第二類的（對應瑕旋轉變換）[2]。可見，歐幾里得空間中的正交變換隻包含旋轉、反射及它們的組合（即瑕旋轉）。
正交變換的逆變換也是正交變換，後者的矩陣表示是前者矩陣表示的逆。
- 中文名
- 正交變換
- 外文名
- orthogonal mapping
- 學 科
- 數學
- 性 質
- 逆變換也是正交變換
正交變換定義
正交變換幾何定義
對於正交變換T以及兩個向量
和
，
和
之內積等於正交轉換後之向量
和
之內積。
正交變換代數定義
在矩陣表示形式上，如果
為正交變換，則為
正交矩陣，對於正交變換之正交矩陣
，其每個行或列互為正交，令
為
之矩陣，取兩個不相同的列
和
遵守下列關係。
正交變換等價刻畫
1.σ是正交變換；
2.σ保持向量長度不變，即對於任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨；
3.如果ε1,ε2,...,εn是標準正交基，那麼σ(ε1),σ(ε2),...,σ(εn)也是標準正交基；
4.σ在任意一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣。
正交變換正交矩陣
性質：正交矩陣的行（列）均為單位向量，且任意不同的兩行（列）均正交（內積為0）；矩陣行列式丨A丨=±1。
正交變換分類
若丨A丨=1，則稱σ為第一類正交變換，包括空間內的平移、旋轉以及二者的複合。
若丨A丨=-1，則稱σ為第二類正交變換，包括空間內的反射以及反射變換與第一類正交變換的複合。
第一類正交變換不改變直角座標系的定向，即左（右）手系變換後仍是左（右）手系。
注意：丨A丨=±1是變換σ成為正交變換的必要不充分條件。
正交變換性質
（1）正交變換
不會改變向量間的正交性，如果
和
正交，則
和
亦為正交。
（2）如果
和
皆為正交矩陣，則
亦為正交矩陣。
（3）正交變換容易做反運算，即正交變換可逆。
（4）如果
為正交矩陣，
的反矩陣
亦為正交矩陣。
（5）對於正交變換
，如果
和
可以做內積，
和
做內積之值等於
和
做內積之值。
（6）正交變換把共線的點變成共線的點，不共線的點變成不共線的點，且保持直線間的夾角不變。
正交變換舉例
以二維空間為例，一個線性變換可寫作
即
當係數矩陣
為正交矩陣時，該線性變換被稱為正交變換。
正交變換應用
正交變換的種類非常的廣，像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都屬於正交變換。對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換。
