波動方程

歷史上許多科學家，如達朗貝爾、歐拉、丹尼爾·伯努利和拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動問題時，都對波動方程理論作出過重要貢獻。

弦振動方程是在18世紀由達朗貝爾（d'Alembert）等人首先系統研究的，它是一大類偏微分方程的典型代表。 ^[1] 

對於一個標量(quantity)

的波動方程的一般形式是：

這裏a通常是一個固定常數，也就是波的傳播速率(對於空氣中的聲波大約是330米/秒, 參看音速)。對於弦的振動，這可以有很大的變化範圍：在螺旋彈簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若a作為波長的函數改變，它應該用相速度代替：

注意波可能疊加到另外的運動上（例如聲波的傳播在氣流之類的移動媒介中）。那種情況下，標量u會包含一個馬赫因子(對於沿着流運動的波為正，對於反射波為負)。

u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定時間t的波強度的一個測量。對於空氣中的聲波就是局部氣壓，對於振動弦就是從靜止位置的位移。

是相對於位置變量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一個標量或向量。

如，一維波動方程：

二維波動方程：

三維波動方程：

對於一維標量波動方程的一般解是由達朗貝爾給出的：

, 其中

和

為任意兩個可微分的單變量函數，分別對應於右傳播波，和左傳播波。

的取法與

無必然關係。

要決定

和

必須考慮兩個初始條件：

這樣達朗貝爾公式變成了：

在經典的意義下，如果

並且

，則

.

一維情況的波動方程可以用如下方法推導：想象一個質量為m的小質點的隊列，互相用長度h的彈簧連接。彈簧的硬度為k :

這裏u (x)測量位於x的質點偏離平衡位置的距離。對於位於x+h的質點的運動方程是：

其中u(x)的時間依賴性變成顯式的了。

如果在所考慮的區域內自由電荷的體密度為零（ρ=0），且媒質是均勻、線性、各向同性的，則由這些條件下的麥克斯韋方程組及本構關係可以導得

上述式子稱為廣義波動方程或基爾霍夫方程。式中的“▽”稱為哈密頓算符。在直角座標系中

在自由空間或絕緣良好的介質中，電導率可以忽略不計，即σ=0，於是E和H的微分方程成為

稱為波動方程或達朗貝爾方程。

波動方程的解是在空間中一個沿特定方向傳播的電磁波。對於電磁波傳播問題的分析，都可歸結為在給定的邊界條件和初始條件下求波動方程的解。

標量波動方程 應用直角座標系

可以把③寫成

即把矢量波動方程分解成三個標量波動方程，每個方程中只含一個知函數。但只有在應用直角座標系時才能得到這樣的結果，在其它座標系中，通過分解而得的三個標量方程都具有複雜的形式。

亥姆霍茲方程 在場源按正弦規律隨時間變化的條件下，場量也是同頻率的正弦函數，可以用相量表示。由相量形式的麥克斯韋方程組出發，可以推導出相量形式的波動方程：

式中：

式⑧與⑨又稱亥姆霍茲方程。

波動方程就是描述波動現象的偏微分方程，它的物理意義就太寬泛了。不過波動方程一個很重要的性質是傳播速度有限（不像熱傳導方程）。電磁場的運動方程是波動方程這説明電磁相互作用只能以有限的速度傳播（光速c），而沒有瞬時的作用（即超距作用）。這是導致狹義相對論建立的一個重要思想。