拉普拉斯算子

拉普拉斯算子是n維歐幾里德空間中的一個二階微分算子，定義為梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二階可微的實函數，則f的拉普拉斯算子定義為：

f的拉普拉斯算子也是笛卡爾座標系xi中的所有非混合二階偏導數：

作為一個二階微分算子，拉普拉斯算子把C函數映射到C函數，對於k≥2時成立。算子Δ :C(R) →C(R)，或更一般地，定義了一個算子Δ :C(Ω) →C(Ω)，對於任何開集Ω時成立。

函數的拉普拉斯算子也是該函數的黑塞矩陣的跡

：

另外，滿足▽·▽f=0 的函數f, 稱為調和函數。

拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。拉普拉斯算子是個微分算子，拉普拉斯方程又名調和方程、位勢方程，求解拉普拉斯方程是物理學和力學等領域經常遇到的一類重要數學問題。 ^[2] 

其中x與y代表 x-y 平面上的笛卡爾座標：

另外極座標的表示法為：

笛卡爾座標系下的表示法

圓柱座標系下的表示法

球座標系下的表示法

在參數方程為（其中以及）的N維球座標系中，拉普拉斯算子為：

其中是N− 1維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。

[elliptic partial differential equation]

橢圓型偏微分方程是偏微分方程的一個類型，簡稱橢圓型方程。這類方程主要用來描述物理中的平衡穩定狀態，如定常狀態的電磁場、引力場和反應擴散現象等。

橢圓型方程是由方程中主部的係數來界定的。對兩個自變量的二階線性或半線性方程

在不等式

成立的區域內，就稱方程是橢圓型的。此時，可以通過自變量的非奇異變換將方程化為標準型

。

對於高階線性方程，設

階線性偏微分算子為

其中，

。該偏微分算子的主部是

若對

及任意非零向量

都有

，則稱方程

在點

是橢圓型的。如果在

中每一點都是橢圓型的，就稱該方程在

中是線性橢圓型方程。

線型橢圓型方程的典型代表是拉普拉斯方程（也叫調和方程）

其中，

這個算子叫拉普拉斯算子（Laplace operator），也叫調和算子。可以説，調和方程是最基本，同時也是最重要的線性橢圓型方程。

對於非線性方程，也可以定義橢圓型方程。例如，考慮二階實係數擬線性方程

其中，

。如果對任意非零向量

，

及

，有

就稱方程是

中的擬線性橢圓型方程。類似地，可以定義高階擬線性橢圓型方程。 ^[1] 

拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里德空間，這時它就有可能是橢圓型算子，雙曲型算子，或超雙曲型算子。

在閔可夫斯基空間中，拉普拉斯算子變為達朗貝爾算子。

達朗貝爾算子通常用來表達克萊因-高登方程以及四維波動方程。