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邊界條件

邊界條件，是指在求解區域邊界上所求解的變量或其導數隨時間和地點的變化規律。邊界條件是控制方程有確定解的前提，對於任何問題，都需要給定邊界條件。邊界條件的處理，直接影響了計算結果的精度。而解微分方程要有定解，就一定要引入條件，這些附加條件稱為定解條件。

邊界條件簡介

如果方程要求未知量y(x)及其導數y′(x)在自變量的同一點x=x₀取給定的值，即y(x₀ )=y₀，y′(x₀)= y₀′，則這種條件就稱為初始條件，由方程和初始條件構成的問題就稱為初值問題；

而在許多實際問題中，往往要求微分方程的解在某個給定區間a ≤ x ≤b的端點滿足一定的條件，如y(a) = A , y(b) = B，則給出的在端點(邊界點)的值的條件，稱為邊界條件，微分方程和邊界條件構成數學模型就稱為邊值問題。

邊值問題中的邊界條件在端點處大體上可以表示為成這樣的形式：Ay+By'=C

①若B=0，A≠0：則稱為第一類邊值條件，也稱為狄利克雷邊界條件。

它給出未知函數在邊界上的數值，直接描述物理系統邊界上的物理量，例如振動的弦兩端與平衡位置的距離；

②若B≠0,A=0：則稱為第二類邊值條件，也稱為諾伊曼邊界條件。

它給出給出未知函數在邊界外法線的方向導數，描述物理系統邊界上物理量垂直邊界的導數，例如導熱細杆端點的熱流；

③若A≠0,B≠0：則稱為第三類邊界條件，也稱為洛平(Robin)條件。

它描述物理系統邊界上物理量與垂直邊界導數的線性組合，例如，細杆端點的自由冷卻，温度、熱流均不確定，但是二者的關係確定，即可列出二者線性組合而成的邊值條件。

再補充點初始條件：

初始條件，是指過程發生的初始狀態，也就是未知函數及其對時間的各階偏導數在初始時刻t=0的值．在有限元中，好多初始條件要預先給定的。不同的場方程對應不同的初始條件。

總之，為了確定泛定方程的解，就必須提供足夠的初始條件和邊界條件！

諾伊曼邊界條件

在數學中，諾伊曼邊界條件（Neumann boundary condition）常微分方程或偏微分方程的“第二類邊界條件”。諾伊曼邊界條件指定了微分方程的解在邊界處的微分。

在常微分方程情況下，如

在區間[0,1]，諾伊曼邊界條件有如下形式：

y'(0) = α1 y'(1) = α2其中α1和α2是給定的數值。

邊界條件

一個區域上的偏微分方程，如

Δy+y= 0(Δ表示拉普拉斯算子，諾伊曼邊界條件有如下的形式

邊界條件

這裏，ν表示邊界處(向外的)法向；f是給定的函數。法向定義為

邊界條件

其中∇是梯度，圓點表示內積。

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