有限元

英文：Finite Element

有限單元法是隨着電子計算機的發展而迅速發展起來的一種現代計算方法。它是50年代首先在連續體力學領域—飛機結構靜、動態特性分析中應用的一種有效的數值分析方法，隨後很快廣泛地應用於求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續性問題。

有限元法分析計算的思路和做法可歸納如下：

將某個工程結構離散為由各種單元組成的計算模型，這一步稱作單元剖分。離散後單元與單元之間利用單元的節點相互連接起來；單元節點的設置、性質、數目等應視問題的性質，描述變形形態的需要和計算精度而定（一般情況單元劃分越細則描述變形情況越精確，即越接近實際變形，但計算量越大）。所以有限元中分析的結構已不是原有的物體或結構物，而是同新材料的由眾多單元以一定方式連接成的離散物體。這樣，用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。如果劃分單元數目非常多而又合理，則所獲得的結果就與實際情況相符合。

在有限單元法中，選擇節點位移作為基本未知量時稱為位移法；選擇節點力作為基本未知量時稱為力法；取一部分節點力和一部分節點位移作為基本未知量時稱為混合法。位移法易於實現計算自動化，所以，在有限單元法中位移法應用範圍最廣。

當採用位移法時，物體或結構物離散化之後，就可把單元總的一些物理量如位移，應變和應力等由節點位移來表示。這時可以對單元中位移的分佈採用一些能逼近原函數的近似函數予以描述。通常，有限元法我們就將位移表示為座標變量的簡單函數，這種函數稱為位移模式或位移函數。

根據單元的材料性質、形狀、尺寸、節點數目、位置及其含義等，找出單元節點力和節點位移的關係式，這是單元分析中的關鍵一步。此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。

物體離散化後，假定力是通過節點從一個單元傳遞到另一個單元。但是，對於實際的連續體，力是從單元的公共邊傳遞到另一個單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節點上去，也就是用等效的節點力來代替所有作用在單元上的力。

利用結構力學的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結構重新連接起來，形成整體的有限元方程。

K是整體結構的剛度矩陣；q是節點位移列陣；f是載荷列陣。

解有限元方程式得出位移。這裏，可以根據方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。

通過上述分析，可以看出，有限單元法的基本思想是"一分一合"，分是為了就進行單元分析，合則為了對整體結構進行綜合分析。

1943年 courant在論文中取定義在三角形域上分片連續函數，利用最小勢能原理研究St.Venant的扭轉問題。

1960年 clough的平面彈性論文中用“有限元法”這個名稱。

1965年馮康發表了論文“基於變分原理的差分格式”，這篇論文是國際學術界承認我國獨立發展有限元方法的主要依據 ^[1]  。

1970年 隨着計算機和軟件的發展，有限元發展起來。

1975年 謝幹權發表論文“三維彈性問題的有限單元法” ^[2]  ，標誌着我國學者在與世隔絕的情況下，獨立發展出真正能應用於三維實踐的有限元方法和有限元工程軟件 ^[3-4]  。文中還在全世界率先得到了三維有限元的超收斂結果。 ^{[2]  [4]  [5]} 

有限元所依據的理論，單元的劃分原則，形狀函數的選取及協調性。

數值計算方法及其誤差、收斂性和穩定性。

固體力學、流體力學、熱傳導、電磁學、聲學、生物力學

杆、梁、板、殼、塊體等各類單元構成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性問題（包括靜力和動力問題）。能求解各類場分佈問題（流體場、温度場、電磁場等的穩態和瞬態問題），水流管路、電路、潤滑、噪聲以及固體、流體、温度相互作用的問題。

隨着計算機技術的迅速發展，在工程領域中，有限元分析（FEA）越來越多地用於仿真模擬，來求解真實的工程問題。這些年來，越來越多的工程師、應用數學家和物理學家已經證明這種採用求解偏微分方程（PDE）的方法可以求解許多物理現象，這些偏微分方程可以用來描述流動、電磁場以及結構力學等等。有限元方法用來將這些眾所周知的數學方程轉化為近似的數字式圖象。

早期的有限元主要關注於某個專業領域，比如應力或疲勞，但是，一般來説，物理現象都不是單獨存在的。例如，只要運動就會產生熱，而熱反過來又影響一些材料屬性，如電導率、化學反應速率、流體的粘性等等。這種物理系統的耦合就是我們所説的多物理場，分析起來比我們單獨去分析一個物理場要複雜得多。很明顯，我們需要一個多物理場分析工具。

在上個世紀90年代以前，由於計算機資源的缺乏，多物理場模擬僅僅停留在理論階段，有限元建模也侷限於對單個物理場的模擬，最常見的也就是對力學、傳熱、流體以及電磁場的模擬。看起來有限元仿真的命運好像也就是對單個物理場的模擬。

這種情況已經開始改變。經過數十年的努力，計算科學的發展為我們提供了更靈巧簡潔而又快速的算法，更強勁的硬件配置，使得對多物理場的有限元模擬成為可能。新興的有限元方法為多物理場分析提供了一個新的機遇，滿足了工程師對真實物理系統的求解需要。有限元的未來在於多物理場求解。

千言萬語道不盡，下面只能通過幾個例子來展示多物理場的有限元分析在未來的一些潛在應用。

壓電擴音器（Piezoacoustic transducer）可以將電流轉換為聲學壓力場，或者反過來，將聲場轉換為電流場。這種裝置一般用在空氣或者液體中的聲源裝置上，比如相控陣麥克風，超聲生物成像儀，聲納傳感器，聲學生物治療儀等，也可用在一些機械裝置比如噴墨機和壓電馬達等。

壓電擴音器涉及到三個不同的物理場：結構場，電場以及流體中的聲場。只有具有多物理場分析能力的軟件才能求解這個模型。

壓電材料選用PZT5-H晶體，這種材料在壓電傳感器中用得比較廣泛。在空氣和晶體的交界面處，將聲場邊界條件設置為壓力等於結構場的法向加速度，這樣可以將壓力傳到空氣中去。另外，晶體域中又會因為空氣壓力對其的影響而產生變形。仿真研究了在施加一個幅值200V，震盪頻率為300 KHz的電流後，晶體產生的聲波傳播。這個模型的描述及其完美的結果表明在任何複雜的模型下，我們都可以用一系列的數學模型進行表達，進而求解。

多物理場建模的另外一個優勢就是在學校裏，學生們直觀地獲取了以前無法見到的一些現象，而簡單易懂的表達方式也獲得了學生們的好感。這只是Krishan Kumar Bhatia博士在紐約Glassboro的Rowan 大學給高年級的畢業生講授傳熱方程課程時介紹建模及分析工具所感受到的，他的學生的課題是如何冷卻一個摩托車的發動機箱。Bhatia博士教他們如何利用“設計－製造－檢測”的理念來判斷問題、找出問題、解決問題。如果沒有計算機仿真的應用，這種方法在課堂上推廣是不可想象的，因為所需費用實在是太大了。

COMSOL Multiphysics擁有優秀的用户界面，可以使學生方便地設置傳熱問題，並很快得到所需要的結果。“我的目標是使每個學生都能瞭解偏微分方程，當下次再遇到這樣的問題時，他們不會再擔心，” Bhatia博士説，“這不需要了解太多的分析工具，總的來説，學生都反映‘這個建模工具太棒了’”。

很多優秀的高科技工程公司已經看到多物理場建模可以幫助他們保持競爭力。多物理場建模工具可以讓工程師進行更多的虛擬分析而不是每次都需要進行實物測試。這樣，他們就可以快速而經濟地優化產品。在印度尼西亞的Medrad Innovations Group中，由John Kalafut博士帶領着一個研究小組，採用多物理場分析工具來研究細長的注射器中血細胞的注射過程，這是一種非牛頓流體，而且具有很高的剪切速率。

通過這項研究，Medrad的工程師製造了一個新穎的裝置稱為先鋒型血管造影導管（Vanguard Dx Angiographic Catheter）。同採用尖噴嘴的傳統導管相比，採用擴散型噴嘴的新導管使得造影劑分佈得更加均勻。造影劑就是在進行X光拍照時，將病變的器官顯示得更加清楚的特殊材料。

另外一個問題就是傳統導管在使用過程中可能會使得造影劑產生很大的速度，進而可能會損傷血管。先鋒型血管造影導管降低了造影劑對血管產生的衝擊力，將血管損傷的可能性降至最低。

關鍵的問題就是如何去設計導管的噴嘴形狀，使其既能優化流體速度又能減少結構變形。Kalafut的研究小組利用多物理場建模方法將層流產生的力耦合到應力應變分 析中去，進而對各種不同噴嘴的形狀、佈局進行流固耦合分析。“我們的一個實習生針對不同的流體區域建立不同的噴嘴佈局，並進行了分析，” Kalafut博士説，“我們利用這些分析結果來評估這些新想法的可行性，進而降低實體模型製造次數”。

摩擦攪拌焊接（FSW），自從1991年被申請專利以來，已經廣泛應用於鋁合金的焊接。航空工業最先開始採用這些技術，正在研究如何利用它來降低製造成本。在摩擦攪拌焊接的過程中，一個圓柱狀具有軸肩和攪拌頭的刀具旋轉插入兩片金屬的連接處。旋轉的軸肩和攪拌頭用來生熱，但是這個熱還不足以融化金屬。反之，軟化呈塑性的金屬會形成一道堅實的屏障，會阻止氧氣氧化金屬和氣泡的形成。粉碎，攪拌和擠壓的動作可以使焊縫處的結構比原先的金屬結構還要好，強度甚至可以到原來的兩倍。這種焊接裝置甚至可以用於不同類型的鋁合金焊接。

空中客車（AirBus）資助了很多關於摩擦攪拌焊接的研究。在製造商大規模投資和重組生產線之前，Cranfield大學的Paul Colegrove博士利用多物理場分析工具幫助他們理解了加工過程。

第一個研究成果是一個摩擦攪拌焊接的數學模型，這讓空客的工程師“透視”到焊縫中來檢查温度分佈和微結構的變化。Colegrove博士和他的研究小組還編寫了一個帶有圖形界面的仿真工具，這樣空客的工程師可以直接提取材料的熱力屬性以及焊縫極限強度。

在這個摩擦攪拌焊接的模擬過程中，將三維的傳熱分析和二維軸對稱的渦流模擬耦合起來。傳熱分析計算在刀具表面施加熱流密度後，結構的熱分佈。可以提取出刀具的位移，熱邊界條件，以及焊接處材料的熱學屬性。接下來將刀具表面處的三維熱分佈映射到二維模型上。耦合起來的模型就可以計算在加工過程中熱和流體之間的相互作用。

將基片的電磁、電阻以及傳熱行為耦合起來需要一個真正的多物理場分析工具。一個典型的應用是在半導體的加工和退火的工藝中，有一種利用感應加熱的熱壁熔爐，它用來讓半導體晶圓生長，這是電子行業中的一項關鍵技術。

例如，金剛砂在2,000°C的高温環境下可以取代石墨接收器，接收器由功率接近10KW的射頻裝置加熱。在如此高温下要保持爐內温度的均勻，爐腔的設計至關重要。經過多物理場分析工具的分析，發現熱量主要是通過輻射的方式進行傳播的。在模型內不僅可以看到晶圓表面温度的分佈，還可以看到熔爐的石英管上的温度分佈。

在電路設計中，影響材料選擇的重要方面是材料的耐久性和使用壽命。電器小型化的趨勢使得可在電路板上安裝的電子元件發展迅猛。眾所周知，安裝在電路板上的電阻以及其他一些元件會產生大量的熱，進而可能使得元件的焊腳處產生裂縫，最後導致整個電路板報廢。

多物理場分析工具可以分析出整個電路板上熱量的轉移，結構的應力變化以及由於温度的上升導致的變形。這樣做可以用來提升電路板設計的合理性以及材料選擇的合理性。

計算機能力的提升使得有限元分析由單場分析到多場分析變成現實，未來的幾年內，多物理場分析工具將會給學術界和工程界帶來震驚。單調的“設計－校驗”的設計方法將會慢慢被淘汰，虛擬造型技術將讓你的思想走得更遠，通過模擬仿真將會點燃創新的火花。

自2000年以來,國內外對非線性結構問題的數值解法做了大量的研究。修正的牛頓－拉普森迭代法的出現,為保證計算精度提供了保障。但是,對求解結構極限強度而言,這種方法仍很難找到極限點。Wright&Gaylord發展了假想彈簧法以保證後極限強度區域結構剛度矩陣的正定,併成功應用於框架結構的分析。Bergan等提出了當前剛度參數法,來抑制臨界區域的平衡迭代進而穿越極限點。Batoz提出了位移控制法,通過施加已知位移變化過程反求結構內力,從而穿越極限點求出結構的後極限強度響應。Riks首次提出弧長控制法,1981年由Crisfield、Ramm、Powell和Simons等人做了改進,並與修正的牛頓－拉普森法相結合,成功地實現了求解後極限平衡路徑中的“階躍”(Snap-through)問題。高素荷等人對網格劃分密度與有限元求解精度的關係進行了研究。通過對不同網格密度、不同單元類型的有限元力學模型計算結果與精確解的分析比較,探索研究單元網格劃分與有限元求解精度的內在聯繫,為在保證有限元解滿足工程實際精度要求的前提下,確定合理的網格密度,提高有限元分析效率進行了有益的探索。研究證明:對於幾何尖角處、應力應變變化較大區域,有限元分析時應選擇高階次單元,並適當增加單元網格密度。這樣,既可保證單元的形狀,同時,又可提高求解精度、準確性及加快收斂速度。全自動劃分網格時,優先考慮選用高階單元。在網格劃分和初步求解時,應做到先簡後繁,先粗後精。由於工程結構一般具有重複對稱或軸對稱、鏡象對稱等特點,為提高求解效率,應充分利用重複與對稱等特徵,採用子結構或對稱模型以提高求解效率和精度。

中國CAE技術研究、開發和應用可以説是幾起幾落，走着一條十分艱難的發展之路。已故我國著名計算數學家馮康先生在50年代就提出了有限元方法的基本思想，幾乎是和國外同步。 60年代中期我國也出現了一些學習有限元方法的單位和學者 ^[1]  ，但是由於計算機硬件條件的限制，更由於文化大革命等政治社會環境的影響，在相當長一段時期，我國CAE技術受到衝擊，但在科研工作者響應國家號召，全身心投入到水電站的水壩的應力應變計算的工作中，終於由湖南省計算技術研究所的謝幹權和李建華，在與國外隔絕的情況下，獨立發明了中國的三維有限元方法和工程軟件，1973年成功應用於黃河水利委員會的工程項目，並於1975年發表了“三維彈性問題的有限單元法”一文 ^[2]  ，繼而在70年代到80年代上半葉，應用於全國的大型水壩的計算，為國家節約了大量資金 ^[3]  ；值得強調的是，根據經過嚴格審查的此文 ^[4]  介紹，謝幹權與李建華合作攻克的三維有限元程序是1972年調試成功，1973年用於黃河水利委員會的項目，論文第一頁腳註清晰指出：此文是1973年投稿，1974年定稿，1975年正式發表 ^[2]  ，在時間順序上可得，他們是1973年發現三維有限元超收斂性，遠遠領先於國外專家，關於他們在全世界第一個發現三維有限元超收斂的這個結論，得到了世界知名有限元專家MICHAL KRIZEK在學術論文中公開承認 ^[5]  ，這是中國第一個在有限元領域超過外國的發現。2000年，李建華謝幹權夫婦又在世界上首先發現隱身斗篷，而且是可實現的不超光速的雙層隱形披風，不僅在計算科學領域繼續保持了領先地位，還在全世界率先提出了超科學的概念 ^[6-9]  。

20世紀70年代中期，大連理工大學研製出了DDJ，JIGFEX有限元分析軟件和DDDU結構優化軟件；北京農業大學李明瑞教授研發了FEM軟件；80年代中期，北京大學袁明武教授通過對國外SAP軟件的移植和重大改造，研製出了SAP-84；由於航空工業的需求，航空工業部從70年代初也開始陸續組織研製了HAJIF（I，II，III），YIDOYU，COMPASS，並多次獲國家級獎勵等等。這些國內CAE軟件與國外的同類產品相比，在核心算法和若干功能上有很多特色，反映了我國學者在計算力學研究中取得的成果，充分考慮了我國計算機硬件的實際條件，在國家基礎設施建設和工程結構設計中都發揮了重要作用，有相當廣泛的應用。

90年代以來，國家加大開放力度，大批國外軟件湧入中國市場，加速了CAE技術在我國的推廣，這無疑提高了我國裝備製造業的設計水平。在此同時，我們自主開發的軟件受到強烈挑戰。特別是盜版的國外軟件，對我國自主開發的CAE軟件打擊很大。有一段時間，幾乎聽不到自主開發CAE軟件的聲音，相關管理部門支持國產軟件發展的力度大幅下降。支持基礎研究的部門認為，CAE軟件開發提不出基礎科學問題，支持科技攻關和高新技術發展的部門認為，CAE軟件開發要走市場化的道路，到市場上去找經費。自主開發CAE軟件在人力、財力、物力上都遭遇很多困難。 ^[10] 

CAE軟件集中凝聚了技術科學的研究成果，自主開發CAE軟件面臨的處境和技術科學在我國的的處境相仿。最近的兩院院士大會上，胡錦濤同志針對忽視技術科學的傾向，強調了“要高度重視技術科學的發展”，給我們以很大鼓舞。事實上，這些有我國自主知識產權的軟件的功績是不可磨滅的，這些軟件不僅解決了一大批國家經濟建設提出的問題，產生了直接和間接的經濟效益，其研發和應用過程培養了一大批從事CAE研發和應用的人才；這些軟件的存在也打破了西方國家對我們的壁壘，迫使國外產品大幅度地降低了價格，它們直接或間接地對國家GDP做出了不可低估的貢獻。

國產CAE軟件發展面臨的困境是我們國家自主知識產權的大部分技術和產品面臨的困境的縮影；在我國技術經濟學的領域內，有的專家認為，改革開放以來國民經濟增長的主要貢獻來自開放，而不是自主知識產權的技術創新，後者對GDP的貢獻非常小。這樣一個説法也許有依據，因為在現實生活中我們可以看到，國內相當大批企業使用的成套技術、成套生產線上的設備和大型軟件是從國外引進的，生產的工藝和很多產品的知識產權是外國公司的。因為面對西方發達國家研發多年的成套技術、設備、產品以及拓展市場的經驗，我們自主創新的科技成果雖然在技術上優於對方，但往往還缺乏足夠的經濟上的優勢來淘汰對方。這樣一個説法應該引起我們廣大科技工作者和管理部門的反思，如何加速我們具有自主知識產權的技術創新活動，如何將這些成果儘早轉化為現實的生產力。但是，我們應該強調的是，以對GDP的直接貢獻來衡量中國科技進步對國家經濟建設和社會進步的貢獻，是非常片面的；我們不能以對GDP的直接貢獻不大為由，就不重視自主創新。正如江澤民同志指出的，創新是一個民族的靈魂。

值得慶幸的是，儘管面臨諸多困難，國內仍然“倖存”下來一批致力於CAE技術的研究隊伍。元計算首席科學家，中國科學院數學與系統科學研究所梁國平研究員團隊歷經八年的潛心研究，獨創了具有國際領先水平的有限元程序自動生成系統（FEPG）。FEPG採用元件化思想和有限元語言這一先進的軟件設計，為各種領域、各方面問題的有限元求解提供了一個極其有力的工具，採用FEPG可以在數天甚至數小時內完成通常需要數月甚至數年才能完成的編程勞動。FEPG是“倖存”下來的為數不多的CAE軟件，這也得力於FEPG軟件比較靈活，能夠解決很多國外商用軟件無法解決的有限元問題，FEPG軟件實用性強，但易用性較國外商用軟件差，這也是很多初級用户感覺較難而不願意學習FEPG的因素。經過多年積累，業已有三百多家科研院、企業應用。已成為國內做的最大的有限元軟件平台。但與國外軟件市場化程度相比還是有一定差距，需要在軟件易用性方面做一些工作。

為向國內用户提供面向應用的有限元分析系統，原FEPG團隊的錢華山博士組織成立了北京超算科技有限公司，並開發了超算有限元分析系統SciFEA。SciFEA軟件已形成了單機版、網絡版(iSciFEA)、集羣並行版、GPU並行版(SciFEA-GPU)系列版本。SciFEA軟件國內正式用户已接近500家，下載試用用户已超過兩萬份。SciFEA拋棄了傳統CAE軟件複雜結構體系設計模式，採用直接面向用户需求的獨立模塊開發方式，目功能上通常的計算功能已經具備，在計算模型的擴展方面還有待進一步發展。

除FEPG軟件、SciFEA軟件比較成規模外，中國建築設計研究院的PKPM軟件在建築領域也具有廣泛的應用，而大連理工大學的軟件主要是解決結構優化； 其他也有一些國內有限元軟件，中國農業大學開發的有限元側重梁板殼的計算，但其發展緩慢，市場上很難見到其蹤跡。美國在2011年的規劃中把仿真計算作為未來規劃中的五大基礎產業之一，可見有限元對社會的發展的影響力，而我國大多應用的是國外的有限元軟件，並且在某些軍工或尖端有限元分析模塊方面是嚴格限制向中國出口的。這更需要國內自主知識產權的有限元軟件。

流體力學有限元方法包括速度壓力法，流函數-渦函數法和流函數法。