偏微分方程

《偏微分方程》共分八章：第一章為緒論；第二、三章分別介紹了一階方程、具有兩個自變量的二階方程的基本知識；第四、五、六章分別介紹了三類基本方程：波動方程、熱傳導方程和Laplace方程的定解問題的適定性、求解方法及解的性質；第七章主要介紹了一階擬線性雙曲守恆律方程組的一些基本知識；第八章介紹了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有兩個附錄：Fourier反演公式；Li-Yau估計。《偏微分方程》不僅把注意力集中在傳統的偏微分方程基礎知識上，而且還有目的地介紹一些當代數學知識，譬如在幾何分析中具有重要作用的Li-Yau估計和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特點是，除在每節後面為讀者準備了一些習題之外，還在一些章節後面為讀者準備了一些思考題和“開放問題（open problem）”。這些問題具有一定的啓發性，對提高學生對本門課程的學習興趣有很大幫助。

《偏微分方程》可作為高等院校數學系學生的教材，也可供數學、力學和物理學等相關專業的工作者參考。

第一章 緒論

1 常用符號

2 基本概念

3 一些例子

4 縱覽

第二章 一階方程

1 一個簡單線性方程

1.1 解析求解：特徵線方法

1.2 近似求解：有限差分方法

2 一類簡單擬線性方程

2.1 Burgers方程

2.2 一般情形

2.3 導數的突變和破裂時間

3 擬線性方程的幾何理論

4 擬線性方程的Cauchy問題

4.1 Cauchy問題

4.2 局部解的存在性

4.3 解的存在唯一性條件

4.4 一種特殊情況：線性偏微分方程

4.5 高維情形

4.6 例子

5 一階偏微分方程組

5.1 一階線性偏微分方程組

5.2 一階擬線性偏微分方程組

6 總結與思考

第三章 具有兩個自變量的二階偏微分方程

1 擬線性二階方程的特徵

2 奇性的傳播

3 二階線性方程的標準形

4 一維波動方程

5 總結與思考

第四章 波動方程

1 一維波動方程：方程的導出及定解條件

1.1 方程的導出

2.1 定解條件

2 一維波動方程：Cauchy問題

2.1 疊加原理

2.2 齊次化原理

3 一維波動方程：初邊值問題

3.1 分離變量法

3.2 非齊次方程

3.3 非齊次邊界條件

4 高維波動方程的Cauchy問題

4.1 高維空間中的波動方程

4.2 定解條件

4.3 球平均法

4.4 Hadamard降維法

4.5 非齊次波動方程Cauchy問題的解

5 波的傳播

5.1 基本概念

5.2 波的傳播：Huygens原理與波的彌散現象

5.3 解的衰減

5.4 解的正則性

6 一般的Cauchy問題與初邊值問題

6.1 一般的Cauchy問題

6.2 初邊值問題

7 能量不等式

7.1 動能和位能

7.2 初邊值問題解的唯一性與穩定性

7.3 Cauchy問題解的唯～性與穩定性

8 總結與思考

第五章 熱傳導方程

1 熱傳導方程的導出及其定解條件

1.1 方程的導出

1.2 定解條件

2 Cauchy問題

2.1 Fourier變換

2.2 Cauchy問題的求解——Fourier變換法

2.3 解的存在性

3 初邊值問題

4 極值原理

4.1 極值原理

4.2 初邊值問題

4.3 Cauchy問題

5 Li-Yau估計與Harnack不等式

6 漸近性態

6.1 初邊值問題

6.2 Cauchy問題

7 總結與思考

第六章 Laplace方程

1 方程的導出及定解條件的提法

1.1 方程的導出

1.2 定解條件

2 變分法

2.1 變分問題與Euler-Lagrange方程

2.2 變分原理

2.3 變分問題與定解問題的求解

3 調和函數

3.1 Green公式

3.2 基本積分公式

3.3 基本性質

3.4 極值原理

3.5 Laplace方程的第一邊值問題解的唯一性和穩定性

4 Green函數

4.1 引進Green函數的動機及其基本性質

4.2 鏡像法

4.3 解的驗證

5 調和函數（續）

6 強極值原理

6.1 強極值原理

6.2 應用：Laplace方程第二邊值問題解的唯一性

7 總結與思考

第七章 擬線性雙曲守恆律方程組初步

1 擬線性雙曲守恆律方程組

1.1 基本概念

1.2 例子

1.3 解的破裂

2 間斷解

2.1 解的定義

2.2 Rankine-Hugoniot條件

2.3 熵條件

2.4 Riemann問題

3 非線性波：經典解情形

3.1 疏散波與壓縮波

3.2 應用實例——追趕問題

4 非線性波：間斷解情形

4.1 單個守恆律

4.2 激波的形成與傳播

4.3 Riemann問題（續）

5 總結與思考

第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理

1 準備知識

1.1 多重無窮級數

1.2 實解析函數

1.3 實解析函數（續）

2 Cauchy-Kovalevskaya定理

2.1 Cauchy-Kovalevskaya定理

2.2 Cauchy-Kovalevskaya定理的證明

3 一些註記

附錄一 Fourier反演公式

附錄二 Li-Yau估計

參考文獻 ^[1]