場方程

愛因斯坦引力場方程是一組含有十個方程的方程組，由愛因斯坦於1915年在廣義相對論中提出。 ^[1]  此方程組描述了引力是由物質與能量所產生的時空彎曲所造成。也就是説，如同牛頓的萬有引力理論中質量作為引力的來源，亦即有質量就可以產生引力，廣義相對論更進一步的指出，動量與壓強皆可做為引力的來源，並且將引力場詮釋成彎曲時空。所以當我們知道物質與能量在時空中是如何分佈的，就可以計算出時空的分佈，而時空彎曲的結果即是引力。

愛因斯坦引力場方程是用來計算物質造成的時空彎曲，再搭配測地線方程，就可以求出物體在引力場中的運動軌跡。這個想法與電磁學的想法是類似的：當我們知道了空間中的電荷與電流(電磁場的來源)是如何分佈的，藉由麥克斯韋方程組，我們可以計算出電場與磁場，再借由洛倫茲力公式，即可求出帶電粒子在電磁場中的軌跡。

僅在一些簡化的假設下，例如：假設時空是球對稱，此方程組才具有精確解。這些精確解常常被用來模擬許多宇宙中的引力現象，像是黑洞、膨脹宇宙、引力波。

其中

稱為愛因斯坦張量，

是從黎曼張量縮並而成的裏奇張量，

是從裏奇張量縮並而成的曲率標量

是度規張量；

是能動張量，

G是萬有引力常數，

c是真空中光速。

愛因斯坦場方程是一組含有若干2階對稱張量的張量方程 ^[1]  。每一個張量都有10個獨立的分量。由於4個比安基恆等式，我們可以將10個愛因斯坦場方程減少至6個獨立的方程組。這導致了度規張量g_μν有4個自由度，與座標選取的4個自由度是對應的。

雖然愛因斯坦場方程一開始是一個應用在四維時空的理論，但是一些理論學家嘗試將它應用在探索n維時空上。

儘管愛因斯坦方程的形式看起來很簡單，實際上這是一組複雜的二階非線性偏微分方程。

一般我們藉由定義愛因斯坦張量( 一個對稱的與度規g_μν有關的二階張量) ：

來將愛因斯坦場方程寫成一個更加簡單的形式：

。

若使用幾何單位制，則G=c= 1，場方程因此簡化為：

場方程的一個重要結果是遵守局域的能量與動量守恆，透過能動張量（代表能量密度、動量密度以及應力）可寫出 ^[2]  ：

場方程左邊（彎曲幾何部分）因為和場方程右邊（物質狀態部分）成比例關係，物質狀態部分所遵守的守恆律因而要求彎曲幾何部分也有相似的數學結果。

愛因斯坦場方程的非線性特質使得廣義相對論與其他物理學理論迥異 ^[1]  。舉例來説，電磁學的麥克斯韋方程組跟電場、磁場以及電荷、電流的分佈是呈線性關係（亦即兩個解的線性疊加仍然是一個解）。另個例子是量子力學中的薛定諤方程，對於概率波函數也是線性的。

透過弱場近似以及慢速近似，可以從愛因斯坦場方程退化為泊松方程。事實上，場方程中的比例常數是經過這兩個近似，以跟泊松方程做連結後所得出 ^[2]  。

若

為零，則場方程被稱作真空場方程。真空場方程可寫為：

用度規張量的逆變分量同時乘以方程左右兩端有：

由於

，整理可得：

而克羅內克爾符號δ在四維時空下跡4，所以式子可寫作：

是故R=0。

因此可以得到此一更常見的方程 ^[1]  ：

若宇宙常數不為零，則方程為

若同上面宇宙常數為零的例子，其形式為

真空場方程的解顧名思義稱作真空解。平直閔可夫斯基時空是最簡單的真空解。彎曲的真空解包括史瓦西解與克爾解。

參見：彎曲時空中的麥克斯韋方程組

如果方程組右邊的能量-動量張量等於電磁學中的能量-動量張量，也就是 ^[1] 

則此方程組稱為“ 愛因斯坦-麥克斯韋方程”：

其中

稱為電磁張量，定義如下：

其中

是4-矢勢，分號代表協變微分，逗號代表偏微分。